rechtw. Dreieck, InkreisR+UmkreisR

29.03.2009, 15:08

kosmopilot

rechtw. Dreieck, InkreisR+UmkreisR

Hallo

habe gerade eine Aufgabe gestellt bekommen:

[rechtwinkliges Dreieck, Inkresradius r, Umkreisradius R]

wie kann man $\begin{eqnarray*} r + R \end{eqnarray*}$ möglichst einfach durch die Katheten a, b ausdrücken?

Umkreisradius ist natürlich $\begin{eqnarray*} R =\frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a²+b²} }{2} \end{eqnarray*}$

Inkreisradius $\begin{eqnarray*} r =\frac{2A}{a+b+c} = \frac{2ab}{a+b+\sqrt{a²+b²} } \end{eqnarray*}$

habs für a=3, b=4, c=5 ausgerechnet und siehe da:

$\begin{eqnarray*} r + R = 1+2,5 =\frac{3+4}{2} \end{eqnarray*}$

also drängt sich

$\begin{eqnarray*} (r + R) = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , also das arithmetische Miteel der Katheten, auf

habe für den Inkreisradius auch folgende Formel gefunden: $\begin{eqnarray*} r = \frac{a+b-c}{2} \end{eqnarray*}$ , dann wäre natürlich alles klar - aber wie kommt man da drauf?

29.03.2009, 15:15

riwe

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RE: rechtw. Dreieck, InkreisR+UmkreisR
wie man mit einer skizze sofort sieht, gilt für den umfang:
$\begin{eqnarray*} U=2(c+r) \end{eqnarray*}$

woraus deine formel folgt smile