Lösung eines LGS

29.03.2009, 20:05

goleo

Lösung eines LGS

Hey ich hab folgendes Problem und zwar hab ich eine Matrix A per Gauß Verfahren umgewandelt so das diese Matrix rausgekommen ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 0 & t & t^2-t \\ 0 & -t^2-2t & 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

davon hab ich die determinante und den Rang etc. ermittelt und gesagt für welchen Wert von t die det=0 ist.

der letzte Aufgabenteil ist nun zu sagen für welche Werte von t dieses LGS lösbar ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 0 & t & t^2-t \\ 0 & -t^2-2t & 2t \end{pmatrix} * \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dafür habe ich jetzt weiter aufgelöst und bin dann auf $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} + \frac{1}{4t^2} \\ 1 \\ -\frac{1}{t^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen
stimmt der vektor denn überhaupt ?

jetzt hab ich t ja immernoch variabel unglücklich

und das einzige was ich ausschließen könnte wäre t=0 da der bruch nicht 0 werden darf aber sonst fällt mir nichts ein also wäre D aus reelen Zahlen \ {0} mein Ergebnis aber ich bezweifle das das korrekt ist

30.03.2009, 01:53

mYthos

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So weit brauchst du zunächst gar nicht rechnen. Wenn du den Wert der Determinante (richtig) herausbekommen hast (wie lautet er denn?), dann kannst du damit bereits eine Aussage über die Lösbarkeit des Systemes treffen, ohne den Lösungsvektor selbst zu berechnen.
Welchen Wert muss die Determinante haben bzw. welche Bedingung muss für diesen gelten, damit das System eindeutig lösbar ist?
Im anderen Falle erhalten wir kritische Werte für t, für die keine Lösbarkeit oder unendlich viele Lösungen in Frage kommen können.

Zm Schluss solltest du natürlich den Lösungsvektor schon auch berechnen.

mY+

Bemerkung: Dein Lösungsvektor ist leider falsch, das musst du noch einmal machen.

31.03.2009, 00:09

goleo

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( kann leider kein Bild direkt einbinden)
das ist die komplette Aufgabe

Edit (mY+): Bilder bitte direkt hier hochladen (keine Links zu externen Bildcontainern!)

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erstmal
$\begin{eqnarray*} t = \lambda \end{eqnarray*}$

für die determinante habe ich $\begin{eqnarray*} 4t^3 (t+1) \end{eqnarray*}$
demnach ist det A = 0 für
t1 = 0
und t2 = -1
für diese Werte ist das LGS nicht lösbar oder?

demnach ist für
$\begin{eqnarray*} t\neq 0,-1 \mathbb D \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

das LGS lösbar

so dann hab ich jetzt einen neuen Vektor raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - \frac{5t-4}{4t^2(t+1)} \\ \frac{4t-2}{t^2(t+1)} \\ \frac{t-2}{t^2(t+1)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber die Antwort auf die Frage e) wäre einfach $\begin{eqnarray*} t\neq 0,-1 \mathbb D \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?? das heisst man bräuchte bei der Aufgabe den Lösungsvektor gar nicht berechnen was ja schon ein ganz schöner Aufwand ist bei dem man auch viele Fehler einbauen kann ^^

Oder bin ich da falsch in der Annahme und muss noch was anderes für t ausrechnen

31.03.2009, 09:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von goleo
t1 = 0
und t2 = -1
für diese Werte ist das LGS nicht lösbar oder?

Das kann man so nicht sagen. Du mußt für diese Werte die Matrix nochmal explizit untersuchen, insbesondere, ob der Rang der Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

31.03.2009, 09:51

goleo

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naja also für t1 = 0 ist das LGS jedenfalls nicht lösbar wenn ich einsetze kommt sonst:

0 | 0 | 0 | 1 in der letzten Zeile d.h. dafür ist es nicht lösbar

für t2=-1 komm ich auf

0 | 0 | 0 | 3 in der letzten Zeile d.h. dafür ist es auch nicht lösbar

wenn beim einsetzen jetzt 0 | 0 | 0 | 0 rausgekommen wäre könnte ich ja einen parameter frei wählen dann hätte ich also unendlich viele Ergebnisse aber da dies nicht der Fall ist ist es nicht lösbar.

Stimmt das jetzt alles so ?

31.03.2009, 09:56

goleo

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der Rang der Matrix für t = 0 ist 1
der Rang der Matrix für t = -1 ist 2

stimmt das?

31.03.2009, 10:10

klarsoweit

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Ja. Und das mußt du abgleichen mit dem Rang der erweiterten Matrix.

31.03.2009, 10:20

goleo

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mit der erweiterten Matrix meinst du das Ax=b LGS oder ?
der Rang hierfür wäre jeweils = 3

da der Rang also nicht gleich ist lässt sich das LGS für t1 und t2 nicht lösen stimmt das jetzt ? ^^ lässt mich aber ganz schön im dunkeln tappen.

aber wäre es nicht hierdurch schon bewiesen das sie nicht lösbar ist:

0 | 0 | 0 | 1 in der letzten Zeile d.h. dafür ist es nicht lösbar

für t2=-1 komm ich auf

0 | 0 | 0 | 3 in der letzten Zeile d.h. dafür ist es auch nicht lösbar

wenn beim einsetzen jetzt 0 | 0 | 0 | 0 rausgekommen wäre könnte ich ja einen parameter frei wählen dann hätte ich also unendlich viele Ergebnisse aber da dies nicht der Fall ist ist es nicht lösbar.

31.03.2009, 10:25

klarsoweit

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Ist nun ok so.

31.03.2009, 11:00

goleo

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das ist aber ne knappe Antwort auf meine vielen Fragen smile

31.03.2009, 14:47

mYthos

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In der Tat zeigt das auch bereits die letzte Zeile (0 = 1), dass das System für den entsprechenden t-Wert nicht lösbar ist.

Dein Lösungsvektor ist nunmehr auch richtig.

mY+

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