Summe Elemente eines endlichen Körpers

29.03.2009, 21:38

guest1402

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Summe Elemente eines endlichen Körpers

Servus!

Mit folgender Aufgabenstellung hab ich es momentan zu tun:

Zeigen Sie, dass die Summe aller Elemente eines endlichen Körpers $\begin{eqnarray*} F\neq \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ 0 ist.

Meine erste Idee war natürlich, dass aufgrund der additiven Inversen jedes Element in der Summe aufgehoben wird. Allerdings gilt dies nicht für jene Elemente die selbstinvers (bez. +) sind. Wenn ich das aber richtig sehe, dann kann es solche Elemente (abgesehen von der 0) nur in einem endlichen Körper mit Charakteristik 2 vorkommen. Leider steht aber ausdrücklich $\begin{eqnarray*} F\neq \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ . Hat jemand eine Idee, wie man für andere endliche Körper mit Charakteristik 2 zeigen kann, dass die Summe seiner Elemente 0 ist? Bzw. ist es möglich zu zeigen, dass solche Körper auch keine selbstinversen (bez. +) Elemente besitzen?

Vielen Dank im voraus!

lG
Philipp

29.03.2009, 22:40

tigerbine

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Würde es so versuchen.
Ok, wenn es nicht 2 sein soll, dann nehmen wir eben 5.

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_5=\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$

Wie erklärt man nun:

$\begin{eqnarray*} 0+1+2+3+4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0+1+2+3+4= 0 + (1+4) + (2+3) = 0 + 0 + 0 \end{eqnarray*}$

Was würde bei 2 passieren (einzige gerade Primzahl!). Was du schon gesagt hast, es tritt ein selbstinverses Element auf. Daher klappt das ganze nicht. Warum kann es nun bei den anderen Körpern nicht passieren, dass selbstinverse Elemente auftreten?

Nehmen wir an, es gäbe so ein Element. Dann müssen wir einen Widerspruch konstuieren. In dem Körper gilt:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{1+1+\ldots+1}_{p\;\text{mal}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{q\;\text{mal}},~ q \leq \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$

=> Konstuktion Widerspruch zu der Minimaleigenschaft von p.

q=p kann nicht gelten, da p ungerade ist.

mit q>p kommt man durch q+q (mod p) wieder zum ersten Fall.

29.03.2009, 23:11

guest1402

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Erstmal vielen Dank! Ich hätte da aber noch 2 Fragen:

Mir ist nich ganz ersichtlich, wieso q<= (p-1)/2 ist. Könntest du vllt. deinen Widerspruchsbeweis etwas ausführlicher darlegen? :-)

Du sagst außerdem, dass p ungerade ist. Aber p könnte ja auch 2 sein ohne, dass der Körper $\begin{eqnarray*} F_{2} \end{eqnarray*}$ ist (der Körper mit 4 Elementen beispielsweise). Außerdem ist mir nicht ganz ersichtlich wieso p=q nicht gelten darf.

Hmm, vllt. könntest du deine Ausführungen etwas ausführlicher darlegen.
Vielen Dank in jedem Fall!

lG
Philipp

29.03.2009, 23:14

tigerbine

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Es ging doch um endliche Körper? Deren Charakterisitik ist eine Primzahl.

Aus dem Link sollte auch die Idee meines Widerspruchs klar werden.

29.03.2009, 23:25

guest1402

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Vllt. stehe ich ja komplett auf der Leitung. Aber beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{4} \end{eqnarray*}$ hat ja Chrakteristik 2, also ist p in diesem Fall gerade. Laut der Aufgabenstellung sollte die Summe der Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{4} \end{eqnarray*}$ aber dennoch 0 sein.

Sprich Probleme bereiten mir jene Körper die Charakteristik 2 haben und 2^n Elemente mit n >= 2.

lG
Philipp

29.03.2009, 23:56

tigerbine

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Diese haben als Elementzahl einer Primzahlpotenz. Wie wird dort gerechet?

PDF, Seite 11

$\begin{eqnarray*} 0+1+a+b = 0+1+0+1 = 0 \end{eqnarray*}$

Primkörper

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30.03.2009, 00:08

Reksilat

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Guten Abend,

@tigerbine: Irgendwie verstehe ich nicht, worauf Du hinauswillst.

@Philipp: Der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^n} \end{eqnarray*}$ ist der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^{p^n}-x \end{eqnarray*}$ . Welches sind denn nun die Nullstellen dieses Polynoms in diesem Körper, bzw. wie sieht die Zerlegung in Linearfaktoren aus?

Gruß,
Reksilat.

PS: Leg Dir doch bitte mal eine vernünftigen Nutzenamen zu Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kannst Dich ja auch mal registrieren.

30.03.2009, 00:09

guest1402

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Vielen Dank, das hilft schonmal zu Veranschaulichung!

Allerdings hab ich noch immer keinen Plan wie ich allgemein zeigen kann, dass für $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2^n}, n\ge 2 \end{eqnarray*}$ auch gilt, dass die Summe der Elemente 0 ist. In derartigen Körpern gilt ja das jedes Element selbstinvers ist. Ich kann also das Argument von vorhin nicht verwenden. Irgendeine Idee?

lG
Philipp

30.03.2009, 00:15

pheips

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@Reksilat
Vielen Dank für den Hinweis. Werde das morgen verfolgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab die Registrierung jetzt auch endlich bewerkstelligt.

lG
Philipp

30.03.2009, 01:06

tigerbine

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@Reksilat: Dachte wenn man den Fall $\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ für k=1 versteht, geht es für die Potenzen besser.

30.03.2009, 01:26

Reksilat

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Hi tigerbine Wink

Wink

Aber da wir den Fall $\begin{eqnarray*} p\neq 2 \end{eqnarray*}$ schon behandelt haben, bleibt hier ja nur der Spezialfall $\begin{eqnarray*} p^1=2 \end{eqnarray*}$ und gerade das ist ja die Ausnahme.
Ergo: Wir können aus k=1 keine Rückschlüsse auf andere Potenzen ziehen, denn für diese gilt ja etwas anderes.

Gruß,
Reksilat.

30.03.2009, 01:32

tigerbine

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Nun verstehe ich nicht was du meinst. Und ab wo unklar ist, was ich meinte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hatte ihn so verstanden, dass er für p ungleich 2 Bestätigung wollte und dann für Körper der char. p=2, k>1 ein Vorgehen.

30.03.2009, 09:05

AD

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Ich schlage mal einen etwas einfacheren Weg zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} S:= \sum_{x\in F} x \end{eqnarray*}$ vor:

Man wähle ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} a\in F\setminus\{0,1\} \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} F\neq \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ muss es ja so ein Element geben. Da $\begin{eqnarray*} (F\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist, folgt unter Nutzung des Distributivgesetzes im Körper

$\begin{eqnarray*} a\cdot S = a\cdot \sum_{x\in F\setminus\{0\}} x = \sum_{x\in F\setminus\{0\}} (a\cdot x) \stackrel{!}{=} \sum_{y\in F\setminus\{0\}} y = S = 1\cdot S \end{eqnarray*}$ ,

umgestellt also $\begin{eqnarray*} (a-1)\cdot S = 0 \end{eqnarray*}$ ...

30.03.2009, 12:33

pheips

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Vielen Dank für eure Bemühungen. Bei dem letzten Posting von Arthu denke ich, hab ichs jetzt verstanden.

Dort wo Arthur das Rufzeichen gemacht hat, läßt sich das ja so begründen, dass $\begin{eqnarray*} a\cdot x \neq a\cdot y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und daher durch $\begin{eqnarray*} a\cdot x \end{eqnarray*}$ jedesmal in der Summe eine neues Element entsteht. Da die beiden Summen über gleich viele Elemente gehen, müssen sie also ident sein.

Stimmt meine Begründung so?

30.03.2009, 12:35

tigerbine

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Sorry wenn ich für Verwirrung gesorgt habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2009, 13:19

AD

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Zitat:

Original von pheips
Da die beiden Summen über gleich viele Elemente gehen, müssen sie also ident sein.

Naja, das mit den "gleich vielen" Elementen allein reicht nicht - es ist schon essentiell, dass die Summe über alle Gruppenelemente (der multiplikativen Gruppe) geht! Ansonsten ist es aber Ok.

30.03.2009, 13:26

pheips

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Naja, das mit den "gleich vielen" Elementen allein reicht nicht - es ist schon essentiell, dass die Summe über alle Gruppenelemente (der multiplikativen Gruppe) geht! Ansonsten ist es aber Ok.

Das ist natürlich einleuchtend. Hab mich da nu ungenau ausgedrückt.

Vielen Dank jedenfalls!

30.03.2009, 13:35

Reksilat

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Zur Ergänzung: Das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{(p^n)}-x \end{eqnarray*}$ zerfällt über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^n} \end{eqnarray*}$ in paarweise verschiedene Linearfaktoren, also:
$\begin{eqnarray*} x^{(p^n)}-x=\prod_{a\in\mathbb{F}_{p^n}}(x-a) \end{eqnarray*}$
(siehe z.B. hier)

Der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} x^{(p^n-1)} \end{eqnarray*}$ ist nun genau: $\begin{eqnarray*} -\sum_{a\in\mathbb{F}_{p^n}}a \end{eqnarray*}$ und dieser ist für $\begin{eqnarray*} p^n>2 \end{eqnarray*}$ eben immer null.

Arthurs Methode ist aber natürlich leichter zugänglich.

Gruß,
Reksilat.

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