darstellende Matrix

29.03.2009, 22:12

Hängemathe

darstellende Matrix

Für den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ seien die Basen $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} B_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die darstellende Matrix S der Koordinatentransformation von $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß dass gilt:

$\begin{eqnarray*} S=K_{B2} \circ K_{B1}^{-1} \end{eqnarray*}$

Nur wie ich auf die jeweilige Koordinatenabbildung komme weiß ich partout nicht.

In der Lösung sind dies jeweils die Basisvektoren als Spaltenvektoren und das ganze noch invertiert, also z.B.

$\begin{eqnarray*} K_{B1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Wieso ist das so und gilt das im Allgemeinen immer? Wenn ich die Koordinatenabbildung habe will nehme ich einfach die Basisvektoren als Spaltenvektoren und invertiere?

29.03.2009, 22:23

tigerbine

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RE: darstellende Matrix
[Artikel] Basiswechsel

30.03.2009, 11:04

Hängemathe

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Sorry aber wo finde ich dort bitte das angesprochene Problem?

Ich sehe dort zwar das die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ Linearkombinationen der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sind und diese Koeffizienten dann in die Matrix s eingetragen und transponiert werden.

In meinem Beispiel wird doch aber die Koordinatenabbildung ohne irgendwelche Zusammenhänge zu anderen Elementen als der jeweiligne Basis selbst aufgestellt, wie ich geschrieben habe. verwirrt

30.03.2009, 11:14

Ehos

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Die Mathematiker im Forum sind leider oft ziemlich formalistisch:

Ich schreibe Dir mal auf, was du bei Koordinatentransformationen praktisch machen musst.

1.Schritt
Du schreibst deine „alte“ und „neue“ Basis formal als Zeilen (nicht als Spalten) zweier Matrizen B1, B2 auf.

2.Schritt:
Die Transformationsmatrix in A*B1=B2 zwischen den Basen bekommst du, indem du auf diese Gleichung „von rechts“ die Inverse von B1 anwendest. In Deinem Falle ergibt sich folgende Transformationsmatrix A zwischen den Basen:

A11=1; A12=1,5
A21=-2; A22=-1

3.Schritt
Die gesuchte Transformationsmatrix A’ zwischen den Koordinaten, welche wir mit einem Strich kennzeichnen, ist die Transponierte der Inversen von A. Man nennt A’ auch die kontragrediente Matrix zu A. Kontragredient heißt auf deutsch „gegenläufig“. (contra=gegen; gressus=Schritt). Die Matrix A’ bekommst du nach kurzer Rechnen

A11’=-0,5; A12’=1
A21’=-0,75; A22’=0,5

Du musst also auf die „alten“ Koordinaten (x|y) irgendeines Vektors, der bezüglich der alten Basis B1 gegeben ist, die Matrix A’ anwenden und erhältstdie „neuen“ Koordinaten (x’|y’) bezüglich der neuen Basis B2..

Beispiel:
Wir stellen einen beliebigen „absoluten“ Vektor bezüglich beider Basen dar, z.B. den Vektor (-5|1) und erhalten:

Bezüglich der alten Basis lautet der Vektor (-5|1)=-5*(1|0)+0,5*(0|2)
Bezüglich der neuen Basis lautet der Vektor (-5|1)=3*(1|3)+4*(-2|-2)

Die „alten“ Koordinaten des Vektors (-5|1) lauten also (-5|0,5).
Die „neuen“ Koordinaten desselben Vektors lauten also (3|4).

Man kann leicht prüfen, dass die obige Matrix A’ gerade die Transformation zwischen dem alten und neuen Koordinatenvektor leistet.

30.03.2009, 12:30

tigerbine

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RE: darstellende Matrix
Nur weil wir keine Komplettlösungen angeben, wie manche Physiker hier, sind wir noch lange nicht formalistisch.

Zitat:

Nur wie ich auf die jeweilige Koordinatenabbildung komme weiß ich partout nicht.

Es hätte ja nicht geschadet, sich mal ein Diagramm dazu zu malen. Auch das Koordinatensystem K braucht 2 Basen. 1 davon ist immer die Standardeinheitsbasis. Bzgl. der sind auch die Angaben gemacht.

War es nun wirklich zu viel verlangt 2 Schritte zu tun. Es war eben eine kleine Transferleistung zu erbringen, um den Link nutzen zu können.

1. Aufstellen der Koordinatenabbildungen

2. Berechnung des Basiswechsels.

Es war sogar ein Programm angehängt. Ferner gibt es im Forum zig Beispiele dazu.

code:

1:
2:
3:
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42:
43:
44:

Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 2
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,0]
Vektor 2: [0,2]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,3]
Vektor 2: [-2,2]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [1,0;0,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     0
     0     2
M1 =
     1     0
     0     1
TI =
    0.2500    0.2500
   -0.3750    0.1250
M2 =
    0.2500    0.5000
   -0.3750    0.2500

30.03.2009, 15:09

Hängemathe

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Tigerbine, du hast ja schon häufiger auf meine Probleme geantwortet und mir dabei auch sehr oft weitergeholfen. Da dies nicht mein 2., 3. oder 10. Thread ist solltest du dann aber auch wissen dass es mir nie um die (Komplett-)Lösung einer Aufgabe geht, sondern ich oftmals den formalen Satz nicht verstehe oder aber auch in einer Aufgabe einen Zusammenhang sehe und diesen gern verstehen würde.

Die Lösungen für Aufgaben wollte ich hier noch nie, schließlich lasse ich mir ja hier keine Hausaufgaben o.ä. lösen!

Das mit dem Programm habe ich so nicht gesehen, ich dachte der Anhang wäre der Artikel als PDF oder ähnliches für den Offline-Gebrauch.

30.03.2009, 15:20

tigerbine

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Mein Bezug auf Komplettlösungen bezieht sich auf Ehos, der das Boardprinzip einfach nicht einsehen will. Augenzwinkern

Somit kam ich ja nicht mehr dazu, dir einen weiteren Tipp zu geben. Ich habe nicht gesagt, dass du hier Hausaufgaben lösen lassen willst. Wink

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