Beweisstruktur (beide Richtungen)

30.03.2009, 17:22

congo.hoango

Beweisstruktur (beide Richtungen)

Komme bei Beweisen immer nicht damit klar, dass man es in die eine und in die andere Richtung zeigen muss...verstehe einfach nicht genau, was da gefragt ist. Hier mal an einem Beispiel, was ich hoffentlich in die eine Richtung korrekt gelöst habe smile

$\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow D \end{eqnarray*}$ sei surjektiv.
$\begin{eqnarray*} (g\circ f):A\rightarrow C \end{eqnarray*}$ sei injektiv.

z.z.: so ist $\begin{eqnarray*} g:B\rightarrow C \end{eqnarray*}$ injektiv

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Nun mein Beweis in die "eine Richtung";

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist gilt a'=f(a), b'=f(b)

$\begin{eqnarray*} (g\circ f)(a) = (g\circ f)(b) \end{eqnarray*}$ , mit a=b

$\begin{eqnarray*} g\circ (f(a) = g\circ (f(b)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(a') = g(b') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a' = b' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Erste Frage: Ist das bis hierhin so richtig? Falls ja, wie sieht nun die andere Richtung aus, bzw. was ist damit genau gemeint?

Vielen Dank schonmal für Antworten!

30.03.2009, 18:24

congo.hoango

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Ups, soll natürlich $\begin{eqnarray*} f:A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ heißen.

30.03.2009, 18:41

xlent

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Hallo. Zunächst solltest du dir ganz genau überlegen was du zu zeigen hast, und was du dafür zur Verfügung hast.
Zunächst machst du dir klar was injektiv bedeutet, nämlich das gleiche Bilder gleiche Urbilder zur Folge haben. Also fängst du mit...
Sei b,b' aus B, so dass g(b)=g(b'). Enden muss dein Beweis mit... folglich ist b=b'.
Nun mach dir klar was du zur Verfügung hast.
1. Die Injektivität von (g o f) und
2. die Surjektivität von f.

Ein Vorschlag von mir wäre jetzt...
Sei b,b' aus B, mit g(b)=g(b'). Wegen der Surjektivität von f existiert jeweils ein a und ein a' in A derart, dass f(a)=b und f(a')=b'. Nun kann g(b)=g(b') durch g(f(a))=g(f(a')) dargestellt werden. Aus der Injektivität von (g o f) folgt damit f(a)=f(a'). Da wir f(a) als b und f(a') als b' vorausgesetzt haben gilt nun b=b'.

Zu deiner Frage mit der Hin- und Rückrichtung: Beide Richtungen sind immer nur dann zu zeigen, wenn eine Äquivalenz von Aussagen nachzuweisen ist. Das heißt, wenn die Aufgabe gestellt wird "zeigen sie, dass A äquivalent B ist", dann ist zu zeigen, das B aus A und A aus B folgt. Deine Aufgabe hier hat die Form "zeigen sie, dass B aus A folgt". Deshalb ist nur eine Richtung zu zeigen. Ich hoffe ich konnte dir damit helfen. Tut mir leid das ich nicht den Editor verwendet habe. Liegt hauptsächlich daran, dass ich nich weis wie's geht Augenzwinkern

. Ist meine erste Handlung im Matheboard gewesen.

31.03.2009, 12:17

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von xlent
Aus der Injektivität von (g o f) folgt damit f(a)=f(a').

Da fehlt noch ein Schritt bzw. das folgt daraus eigentlich nicht. Aus der Injektivität von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ folgt nämlich erstmal $\begin{eqnarray*} a=a' \end{eqnarray*}$ und daraus dann natürlich erst recht $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a') \end{eqnarray*}$

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