Cauchy-Folgen

30.03.2009, 18:18

plizzz

Cauchy-Folgen

Hallo ihr,
ich muss kämpfe hier momentan etwas mit der p-adischen Analysis und habe da schon anfangs ein paar grundlegende Verständnisfragen. Diese sind folgende:

1. Aus der reellen Analysis kenne ich Cauchy-Folgen folgendermaßen
$\begin{eqnarray*} \forall Epsilon>0 \exists N \in \mathbb N \forall m,n >= N : |a(n)-a(m)|< Epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt steht hier aber etwas davon, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist, wenn oben geschriebene Definition für d(a(n),a(m)) gilt. Heißt das, wenn man eine andere Metrik nimmt als den Absolutbetrag (z.B. eine andere Norm), die Definition von Cauchy-Folgen dann

$\begin{eqnarray*} \forall Epsilon>0 \exists N \in \mathbb N \forall m,n >= N : ||a(n)-a(m)||< Epsilon \end{eqnarray*}$
mit eben dieser Norm lauten würde?

2. Was versteht man darunter, wenn eine Cauchy-Folge nicht konvergiert?
Heißt das ...

a) Der Grenzwert liegt nicht in der gleichen algebraischen Sruktur wie die Folgeglieder?

b) Mit einer anderen Metrik (siehe oben) muss sich eine Cauchy-Folge gar nicht auf einen Wert zubewegen?

3. Folgende Aufgabe hat mir völlig den Rest gegeben:
"Prove that the following metric spaces are not complete, and construct their completions:
$\begin{eqnarray*} (1) \mathbb R \end{eqnarray*}$ with the distance $\begin{eqnarray*} d(x,y) = |arcan(x)-arctan(y)|<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \mathbb R \end{eqnarray*}$ with the distance $\begin{eqnarray*} d(x,y) = |e^x - e^y| \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung, wie ich da anfangen soll...

Kann sein, dass meine Vorstellungen auch völlg falsch sind. Bitte daher um Hilfe und bin für jede dankbar-

plizzz

30.03.2009, 21:39

tmo

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RE: Cauchy-Folgen

Zitat:

Original von plizzz
Jetzt steht hier aber etwas davon, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist, wenn oben geschriebene Definition für d(a(n),a(m)) gilt. Heißt das, wenn man eine andere Metrik nimmt als den Absolutbetrag (z.B. eine andere Norm), die Definition von Cauchy-Folgen dann

$\begin{eqnarray*} \forall Epsilon>0 \exists N \in \mathbb N \forall m,n >= N : ||a(n)-a(m)||< Epsilon \end{eqnarray*}$
mit eben dieser Norm lauten würde?

Ja. Guck mal wie man das mit Latex schöner schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 ~\exists N \in \mathbb N ~\forall m,n \geq N : \| a_n-a_m \| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von plizzz
2. Was versteht man darunter, wenn eine Cauchy-Folge nicht konvergiert?
Heißt das ...

a) Der Grenzwert liegt nicht in der gleichen algebraischen Sruktur wie die Folgeglieder?

b) Mit einer anderen Metrik (siehe oben) muss sich eine Cauchy-Folge gar nicht auf einen Wert zubewegen?

Zu a) Schreibe statt algebraischer Struktur lieber Menge oder Raum.

Zu b) Kann man so sagen ja. Die nächsten Aufgaben sind ja gerade solche Beispiele

Zitat:

Original von plizzz
3. Folgende Aufgabe hat mir völlig den Rest gegeben:
"Prove that the following metric spaces are not complete, and construct their completions:
$\begin{eqnarray*} (1) \mathbb R \end{eqnarray*}$ with the distance $\begin{eqnarray*} d(x,y) = |arcan(x)-arctan(y)|<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \mathbb R \end{eqnarray*}$ with the distance $\begin{eqnarray*} d(x,y) = |e^x - e^y| \end{eqnarray*}$

Nunja, du brauchst eine Cauchy-Folge bzgl. den Metriken, die aber nicht konvergiert. Ist gar nicht so schwer Augenzwinkern

30.03.2009, 21:45

plizzz

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Jo stimmt, bei (2) kann man eine Folge a(n)= -n nehmen, die erfüllt dann das Kriterium für Cauchy und divergiert bestimmt gegen unendlich.

(1) wird dann so ähnlich gehen.

31.03.2009, 22:41

Elvis

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Cauchyfolge
Hallo, achtet bitte stets auf die exakten Definitionen für Begriffe wie "Betrag", "Metrik", "Norm" etc. Das wird für die p-adischen Zahlen und die Analysis in reellen und p-adischen Zahlen wichtig. Cauchyfolgen für eine beliebige Metrik auf metrischen Räumen definiert man in der Tat so wie in der reellen Analysis.
Der absolute Betrag auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wird benutzt, um rationale Cauchyfolgen zu definieren (das ist deine Def.1). $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dann die Mengen der Cauchyfolgen - bezüglich des absoluten Betrags - modulo der Menge der Nullfolgen - bezüglich des absoluten Betrags. Und dann zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vollständig ist, das heißt, dass jede Cauchyfolge reeller Zahlen - bezüglich der Fortsetzung des absoluten Betrags - konvergiert.
Genauso liefert der p-adische Betrag für jede Primzahl p eine Vervollständigung der rationalen Zahlen zum vollständigen Zahlkörper der p-adischen Zahlen. Das sind dann also die Cauchyfolgen rationaler Zahlen - bezüglich des p-adischen Betrages - modulo Nullfolgen rationaler Zahlen - bezüglich des p-adischen Betrages.
Das ist erst der Anfang. Ich wünsche die viel Vergnügen auf deiner abenteuerlichen Reise in die Zahlentheorie, und ich garantiere dir, dass es sich lohnt. Freude

01.04.2009, 14:26

plizzz

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Zwei Sachen verstehe ich noch nicht:

1. Was kann ich mir unter "Menge der Cauchyfolgen modulo der Menge der Nullfolgen" vorstellen?

2. Wenn ich den Körper der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen erweitere, füge ich ja die irrationalen Zahlen hinzu. Die rationalen Zahlen als Teilmenge bleiben mit ihren Eigenschaften ja genau so erhalten.
Wenn ich jetzt also die rationalen Zahlen zu den p-adischen Zahlen erweitere, müssten die rationalen Zahlen ja als Teilmenge mit ihren Eigenschaften auch erhalten bleiben, oder sehe ich das falsch?
Außerdem: Um welche Zahlen wird $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ jetzt zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ erweitert?

Habe ehrlich gesagt mit den p-adischen Zahlen noch ziemlich zu kämpfen, da ich viele grundlegende Dinge an ihnen noch nicht verstehe.

Danke für die Hilfe,
plizzz

01.04.2009, 17:35

plizzz

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3. Was mache ich mit so Folgen wie $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man zB die von der 5-Norm induzierte Metrik nimmt, ist dies ja keine Cauchy-Folge mehr. Heißt das,
$\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ ist keine rationale mehr oder wie?

04.04.2009, 10:59

Elvis

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p-adische Zahlen
zu 1. Die Menge aller "Cauchyfolgen rationaler Zahlen bezüglich einer Betragsfunktion" ist eine Menge (das hört sich trivial an und ist es auch, sobald du weisst, was eine Cauchyfolge ist). Die Menge aller "Nullfolgen rationaler Zahlen bezüglich einer Betragsfunktion" ist auch eine Menge (genau so trivial, sobald du weisst, was eine Nullfolge ist, nämlich eine konvergente Folge mit Grenzwert 0). Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen, also ist insbesondere jede Nullfolge eine Cauchyfolge, d.h. die Menge der Nullfolgen ist eine Teilmenge der Cauchyfolgen.

Ist eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf einer Menge M gegeben, so kann man die "Faktormenge" $\begin{eqnarray*} M / \sim \end{eqnarray*}$ bilden, das ist die Menge der Äquivalenzklassen von M bezüglich der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ . Ist M eine algebraische Struktur, z.B. eine Menge mit einer Addition, und N eine Telmenge von N, die bezüglich dieser Addition abgeschlossen ist, so kann man eine Kongruenzrelation auf M definieren durch $\begin{eqnarray*} a \equiv b \mod N \Leftrightarrow a-b \in N \end{eqnarray*}$ . Jede Kongruenzrelation ist eine Äquivalenzrelation, also existiert die Faktormenge $\begin{eqnarray*} M / \equiv \end{eqnarray*}$ , und man definiert $\begin{eqnarray*} M / N := M / \equiv \end{eqnarray*}$ und nennt diese Faktormenge "M modulo N".

Wikipedia schreibt zur Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Darstellung als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen: Diese heute verbreitetste Konstruktion der reellen Zahlen geht wohl auf Georg Cantor zurück, der die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen definierte. Dabei gelten zwei Cauchy-Folgen als äquivalent, wenn ihre (punktweisen) Differenzen eine Nullfolge bilden. Wie man relativ leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet.
Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt bilden die reellen Zahlen damit einen geordneten Körper.

Noch eine einfachere Erklärung dazu, wie man sich die reellen Zahlen vorstellen kann. Reelle Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, rationale Zahlen sind darin enthalten als schließlich periodische Dezimalzahlen. Und dann kommt der Trick, dass man reelle Zahlen nicht als verschieden ansieht, wenn sie sich nur um eine Nullfolge unterscheiden am folgenden Beispiel ganz klar zum Ausdruck: 1,000... = 0,999... (DAS heißt Cauchyfolgen modulo Nullfolgen).

04.04.2009, 11:44

Elvis

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p-adische Zahlen
zu 2. Reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind Cauchyfolgen rationaler Zahlen (modulo Nullfolgen) bezüglich des aboluten Betrages auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
p-adische Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ sind Cauchyfolgen rationaler Zahlen (modulo Nullfolgen) bezüglich des p-adischen Betrages auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Für jede Primzahl p erhält man einen bezüglich des p-adischen Betrages vollständigen Zahlkörper, alle diese Zahlkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ treten gleichberechtigt neben den Zahlkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ als konstante Folgen enthalten ( eine konstante Folge (a,a,a,...) einer rationalen Zahl a ist ja konvergent in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , also eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ).

3. $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 = \frac {2}{9} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegt nach dieser Erklärung offensichtlich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ für alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

04.04.2009, 14:05

Elvis

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p-adische Zahlen
... wir kämpfen alle mit den p-adischen Zahlen, und das schon seit Jahrzehnten. verwirrt

Ein kleines bißchen haben wir dabei gelernt, aber noch lange nicht genug ... Augenzwinkern

Sie helfen uns Zahlen (im allgemeinen) zu verstehen, und sie sind auch an und für sich sehr interessant, und ihre Analysis ist eine unerschöpfliche Quelle der Wunder (auweh Hammer

jetzt werde ich ein wenig pathetisch Big Laugh

)

04.04.2009, 14:41

plizzz

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Erstmal danke, dass du die dich hier mit so sehr mit dem Thema beschäftigst. Freude

Allerdings nochmal zu der Sache mit $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ , die habe ich noch nicht ganz verstanden:

Und zwar kann ja jede rationale (und auch reelle) Zahl als Reihe geschrieben werden. Die Reihen sind dann nach links endlich und können hinter dem Komma unendlich lang gehen. Diese Reihen konvergieren ja, da die Folge der Partialsummen nach Cauchy-Kriterium bzgl. der von der Betragsnorm induzierten Metrik konvergiert.

Nun ist es ja anders, wenn man Cauchy-Folgen über die von der p-Norm induzierten Metrik definiert. Angenommen, wir schreiben die Reihen zur Basis p. Dann konvergieren die Reihen ja, wenn sie entweder endlich sind (gibts sowas überhaupt bei der p-adischen Zahlendarstellung?) oder wenn sie nach links unendlich sind - wenn sie hinter dem Komma unendlich werden, divergieren sie doch allerdings nach Cauchy-Kriterium.

Deshalb meine Frage (ausgehend von der 5-Norm => $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 0,\overline 1 \end{eqnarray*}$ zur Basis 5) : Die Reihe von $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ müsste doch eigentlich divergieren, wenn man sie so schreibt - ergo gäbe es so eine Zahl wie $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ gar nicht, da sie nicht Grenzwert einer Cauchy Folge ist. Oder ist es einfach so, dass man $\begin{eqnarray*} 0,\overline 2 \end{eqnarray*}$ in der p-adischen Darstellung ganz anders schreibt?

Freue mich schon auf die Antwort
plizzz

04.04.2009, 15:44

Elvis

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Darstellung p-adischer Zahlen
Auch in p-adischen Zahlen gibt es so etwas ähnliches wie bei reellen Zahlen nämlich eine Zifferndarstellung. Zu reellen (Dezimalzahlen) brauche ich wohl nichts weiter zu sagen. p-adische Zahlen sind (zunächst rein formal) definiert als
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-n}^\infty ~a_k p^{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k \in \lbrace 0,...,p-1 \rbrace \end{eqnarray*}$ .
Eine p-adische Zahl ist in der p-adischen Metrik umso kleiner, je höher die Potenz von p ist, durch die sie teilbar ist. Also tragen die hohen Potenzen in dieser Reihe immer weniger zum Wert der p-adischen Zahl bei (genau wie in reelen Zahlen die weiter rechts stehenden Dezimalziffern immer weniger beitragen).
Bei Zifferndarstellungen von reellen und p-adischen Zahlen musst du immer angeben, in welchem Zahlkörper du dich befindest.
Man schreibt übrigens auch p-adische Zahlen von links nach rechts, also die Ziffern für positive Potenzen von p nach dem Komma.

Es macht keinen Sinn, p-adische Zahlen und q-adische Zahlen für zwei verschiedene Primzahlen p und q in Beziehung setzen zu wollen. Genauso wenig wie es Sinn macht, sie mit reellen Zahlen zu vergleichen. Nur die rationalen Zahlen stecken überall drin (als Primkörper).

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