Optimierungsaufgaben

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Quegge Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgaben
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Ich habe versucht die 1.Aufgabe graphisch zu lösen, aber dies ist mir nicht wirklich gelungen...

Kann sich mal jdm diesen Vorschlag ansehen und ggf einen Besseren machen?
An Aufgabe 2 bin ich komplett gescheitert. Wäre nett, wenn es mir jdm erklären könnte. Danke =)


Aufgabe 1:

Die Sortiermaschine erhält die Variable x, die Rückgewinnungsanlage die Variable y.
Aus der Aufgabe geht hervor, dass die Zielfunktion folgende Gleichung ist:

Z=120.000x+90.000y --> Min !

Wenn im Jahr mindestens 2 Sortiermaschinen und 3 Rückgewinnungsanlagen gebaut werden müssen, ergeben sich die ersten Nebenbedingungen in dieser Weise:

I x>2
II y>3

Im Werk I werden 5 Arbeitstakte für Sortiermaschinen und 3 für Rückgewinnungsanlagen eingesetzt, wobei insgesamt mindestens 45 Arbeitstakte erfolgen müssen. Im Werk II müssen mindestens 60 Arbeitstakte geleistet werden. Sortiermaschinen erfordern hier 5 und Rückgewinnungsanlagen 6 Arbeitstakte. Es ergeben sich zwei weitere Nebenbedingungen:

III 5x+3y>45 --> y=-5/3x+15
IV 5x+6y>60 --> y=-5/6x+10
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

1.

Die Nebenbedingungen hast du - fast - richtig aufgestellt. Bedenke jedoch, dass die Aussage "mindestens" auch das Gleichheitszeichen einschließt. Ausserdem musst du die Zielfunktion entsprechend kürzen: Setze dazu 1 Einheit = 30000.- €, dann gilt



Selbstverständlich kannst du auch in der Folge deine Zielfunktion um den Faktor 30000 kürzen, wichtig ist nur, dass das Verhältnis (die Steigung der Geraden) gleich bleibt.



Was ergibt sich bei Auswertung der (Un-)Gleichungen III und IV ?
Die blaue Gerade rechts ist die in den weitesten Eckpunkt des Polygons verschobene Zielfunktion.
Berechne die Stückzahlen und den Geldwert der minierten Zielfunktion.

Kannst du das nun zu Ende führen?

mY+
 
 
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal vielen dank für diese ausführliche hilfe =)
ich weiß jetzt, dass der optimalwert für x 5 ist und für y 6
stimmt doch oder?
das heißt, dass

Z= 120.00 * 5 + 90.000 * 6

ist?

stimmt das?
wenn ja, dann hat mich die 5 und 6 verwirrt, weil diese bereits in der aufgabe als arbeitstakte gegeben waren.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so stimmt das gerade eben nicht, denn du hast x mit y vertauscht!
Die richtige Lösung kann man ja auch aus der Graphik schön ablesen.

Du solltest ausserdem die beiden Beziehungen III und IV auch gleichungsmäßig rechnerisch auflösen (nicht nur in der Graphik nachsehen). Dann wäre dir der "Dreher" wahrscheinlich nicht passiert.

mY+
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sry, ein kleiner Zahlendreher.. Hammer

III 5x+3y =45
IV' -5x-6y=-60
________________

III+IV'
-3y=-15
y=5

III x=-3/5 *5 +9
x=6

So ist es rechnerisch korrekt ja?
Dann habe ich also gleich 2 Möglichkeiten zur Überprüfung.
Vielen Dank =)





Ich wäre auch für einen Lösungsansatz der Aufgabe 2 dankbar, dann könnte ich diese heute auch noch rechnen.

Muss ich dort für jeden Typ eine Variable zuordnen (a,b,c), die Gleichungen (Nebenbedinungen) aufstellen und dann?
verwirrt


lg Quegge
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde die Gleichungen so aufstellen:

Werk 40A+60B+40C <=11200
Baustelle 80A+60B+20C <=17600
Gesamthäuser A+B+C=300
Typ A A<=120
Typ B B<=300

Da ja gefragt ist, wieviele Häuser von jedem Typ gebaut werden müssen, um den Gewinn zu maximieren, würde ich sagen:

Z: 800A+1000B+400C -> Max.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, soweit ist diesem Ansatz zuzustimmen, bis auf einen kleinen Irrtum: (statt 300). Daraus folgt, dass mindestens 80 vom Typ C gebaut werden.

mY+
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ist mir gar nicht aufgefallen.
Wenn ich jetzt sage, dass min. 80 von Typ C gebaut werden, wie schaffe ich es eine der Variablen wegzubekommen?
Oder muss ich das überhaupt nicht?
Aber wie beginne ich denn sonst mit der Lösung?





lg Quegge
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss mit allen drei Variablen rechnen. Geometrisch (graphisch) spielt sich das dann im dreidimensionalen Raum ab; die linearen Gleichungen stellen Ebenen dar.

Eine erste Prüfung zeigt mir jedoch, dass ein Problem mit der Angabe bestehen dürfte: Ich kriege gar keine plausible Lösung (Stückzahlen sollen alle positiv sein) zusammen. verwirrt

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ho... Wink


mythos, da du gerade in der Aufgabe drin bist. Könntest du mal dieses Applet testen? Danke Mit Zunge
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Funkt bei mir (dzt. Windows 7 mit FireFox 3 / IExpl 8) nicht. Offensichtlich fehlt JAVA. Muss zuerst die VM installieren ...

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Schade.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So: JAVA installiert, neu gestartet, sieht jetzt so aus, als dass es funktioniert. Ich sehe mir das mal an.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Applet "Simplex Instructor" zeigt, dass mit unserem ursprünglichen Ansatz keine Lösung möglich ist. Die Bedingungen A + B + C = 300 und desgleichen auch müssen deshalb fallen gelassen werden.

Daher gelangen weniger als 300 Häuser zum Verkauf (das ist allerdings ein Widerspruch zur Angabe*). Wichtig erscheint, dass die zur Verfügung stehenden Arbeitsstunden möglichst voll ausgenützt werden.

Dann gibt es eine optimale Lösung (A = 120; B = 100; C = 10; Z = 200000).

mY+

* @..bine: Wie sonst wäre das zu rechnen?
Danke für den guten Hinweis. Diesen Link muss man bookmarken.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos:

Habe mich in die Aufgabe nicht weiter eingelesen. War auf der Suche nach einem SimplexApplet, damit wir hier sowas anbieten können.

Vielleicht schaffe ich es morgen, mir die Aufgabe anzuschauen, ansonsten mal Abakus ansprechen. Wink
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

hallo
also eigentlich wollte ich das problem zeichnen und so lösen, wie das vorherige, aber ich habe keine ahnung ob das überhaupt geht
außerdem hört es sich so an, als wäre die lösung überhaupt nicht möglich wie gegeben.
sind denn die bedingungen alle richtig?
so schwer kann doch die aufgabe nicht sein oder?
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ich habe einen Link zur Thematik gefunden.
Kann mir jdm. sagen, ob man das so macht, wie angegeben?
thx

hier
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Link beschreibt genau das Vorgehen nach der geometrischen Methode* in R2 (x,y) bzw. in R3 (x,y,z). Danach müsste dir die Rechnung bei deinem ersten Beispiel (mit 2 Variablen) doch sehr bekannt vorgekommen sein!

Dein zweites Beispiel habe ich nun mit den Ebenengleichungen (so wie sie auch in dem Link beschrieben sind) angesetzt (ich habe dir ja auch geschrieben, dass statt Geraden nun Ebenen zu verwenden sind) und bin dabei zu dem Schluß gelangt, dass es mit den anfangs angenommenen Bedingungen - die ja nicht unbedingt zutreffen müssen - keine Lösung gibt.

*Eine andere Methode ist der Simplex-Algorithmus. In der allgemeinen Schulmathematik gehört er allerdings meistens nicht zum Stoffumfang, soviel mir bekannt ist.

mY+
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke.
kannst du mir auch noch genau den grund nennen, warum es nicht möglich ist?
wäre nett Augenzwinkern



lg quegge
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Quegge
Also ich würde die Gleichungen so aufstellen:

Werk 40A+60B+40C <=11200
Baustelle 80A+60B+20C <=17600
Gesamthäuser A+B+C=300
Typ A A<=120
Typ B B<=100

Da ja gefragt ist, wieviele Häuser von jedem Typ gebaut werden müssen, um den Gewinn zu maximieren, würde ich sagen:

Z: 800A+1000B+400C -> Max.


Wenn die Summe der 3 Typen genau 300 betragen soll, stehen bei der ersten Nebenbedingung mindestens 40 * 300 = 12.000 auf der linken Seite, d.h. die Nebenbedingung ist nicht erfüllbar.

Also gibs keine Lösung und damit keine Häuserbaukonjunktur geschockt .

Grüße Abakus smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Also gibs keine Lösung und damit keine Häuserbaukonjunktur geschockt .


Und das in der momentanen Lage. Oi. geschockt

Danke dir fürs durchlesen. Wink
Quegge Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auch von mir, aber das sagt mir leider rein gar nichts...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das sagt: Angaben nochmal überprüfen. Denn unter diesen Nebenbedingungen ist die Aufgabe nicht lösbar. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie oben schon gestanden ist, können die Bedingungen A + B + C = 300 und desgleichen auch entfallen.

Dann gelangen weniger als 300 Häuser zum Verkauf. Wichtig erscheint, dass die zur Verfügung stehenden Arbeitsstunden möglichst voll ausgenützt werden.

In diesem Fall gibt es eine optimale Lösung (A = 120; B = 100; C = 10; Z = 200000).

mY+
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