Fläche endlich, Rotationskörper nicht endlich.

30.03.2009, 22:55	Mario G.	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche endlich, Rotationskörper nicht endlich. Hallo, ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe: $\begin{eqnarray} G_1(x)=\frac 1 {\sqrt{x}}+\frac x 2 \end{eqnarray}$ Die Parallele zur y-Achse durch den Tiefpunkt T1, der Graph G1 und die Koordinatenach- sen begrenzen eine nach oben offene Fläche. Weisen Sie nach, dass die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Fläche endlich ist, dass aber die Maßzahl des Volumens des Rotationskörpers, der bei der Rotation dieser Flä- che um die x-Achse entsteht, nicht endlich ist. Der Tiefpunkt ist bei x=1. Also habe ich die Integrationsgrenzen 0 und 1. Aber Wieso ist die Fläche endlich, aber die Rotationsfläche unendlich? Viele Grüße Mario
30.03.2009, 23:06	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne doch einfach die entspr. Integrale. Bedenke, da die Null als Integrationsgrenze nicht im Definitionsbereich von G1 liegt, dass du so vorgehst: $\begin{eqnarray} \int_0^1~G_1(x)~\dd x = \lim_{a \to 0} \int_a^1~G_1(x)~\dd x \end{eqnarray}$ Nun berechne eben einmal dieses Integral, indem du den entspr. Grenzwert bildest. Du wirst auf einen endlichen Wert kommen. Dann wende die Formel für das Rotationsvolumen an (Integral über dem Quadrat der Funktion) und versuche es erneut - dieses Mal wirst kein Grenzwert existieren. air
30.03.2009, 23:13	Mario G.	Auf diesen Beitrag antworten »
Un wie berechne ich so ein Integral mit Grenzwert? Am besten erstmal die Stammfunktion bilden, oder?
30.03.2009, 23:20	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Tu erstmal so, als wäre da kein Grenzwert, sondern als hättest du die Grenzen a und 1. Stammfunktion bilden und den Hauptsatz anwenden (Stammfkt. obere Grenze minus Stammfkt. untere Grenze). Danach den Grenzwertübergang durchführen. air
30.03.2009, 23:25	Mario G.	Auf diesen Beitrag antworten »
so: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~G_1~dx=2\cdot \sqrt x + \frac 1 4 x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{a}^{1}~G_1~dx=\frac 9 4 -(2\cdot \sqrt a + \frac 1 4 a^2) \end{eqnarray}$ man sieht jetzt, das der hintere Term weg fällt. Wie man das jetzt rechnerisch macht weis ich jedoch nicht. Und für das Rotationsvolumen die Stammfunktion der quadrierten Funktion bilden oder?
30.03.2009, 23:30	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist daran nicht rechnerisch? Für $\begin{eqnarray} a \to 0 \end{eqnarray}$ wird der Klammerterm, wie du sagtest, offensichtlich Null. Übrig bleibt ein endlicher Wert (9/4) - der Flächeninhalt. Und nun weiter mit dem Rotationsvolumen, so wie sagtest. air
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30.03.2009, 23:36	Mario G.	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich habs ;-) $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~(G_1)^2~dx=\frac 1 {12}-(\frac 1 a +a + \frac 1 {12} a^3) \end{eqnarray}$ wobei der hintere Term nicht definiert wird, da ja Division durch 0 nicht definiert ist.
30.03.2009, 23:59	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wiederum war Unsinn. Die Stammfunktion ist nämlich falsch. Auch solltest du die Integrale formal korrekt schreiben. $\begin{eqnarray} \int_a^1~\left(G_1(x)\right)^2~dd x = \int_a^1~\left(\frac{1}{x} + \sqrt{x} + \frac{x^2}{4}\right)~\dd x = \left[\ln x + \frac23 \sqrt{x^3} + \frac{1}{12}x^3\right]_a^1 = \ldots \end{eqnarray}$ air

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