normale und selbstadjungierte Operatoren

30.03.2009, 23:03	stefan_7	Auf diesen Beitrag antworten »
normale und selbstadjungierte Operatoren Hallo ich habe folgendes Problem, kann nirgendwo etwas finden dass mir bei folgender Aufgabe hilft! Es sei V ein innerer Produktraum. Es seien $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ und T,R $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ L(V) . Welche der folgenden Aussagen sind wahr. (Beweis oder Gegebeispiel; wenn die Antwort davon abhängt ob $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ oder C ist, oder was die Dimension von V ist sollten Sie dies diskutieren.) Sind T und R normal, so ist T+R normal Sind T und R selbstadjungiert so ist T+R selbstadjungiert. Ist T normal, so ist $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \end{eqnarray}$ T normal. Ist T selbstadjungiert, so ist $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \end{eqnarray}$ T selbstadjungiert. Bitte helft mir!! Vielen Dank
31.03.2009, 00:24	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: normale und selbstadjungierte Operatoren Hallo Stefan, Es bringt nichts, hier einfach irgendwelche Aufgaben hinzuknallen - Du musst schon eigene Ansätze dazuschreiben. Das Matheboard ist ein Selbsthilfeboard. Gruß, Reksilat.
31.03.2009, 14:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Aussage kann ich nicht beweisen oder widerlegen. Die anderen Aussagen sind aber nicht schwer. Ich verwende folgende Bezeichnungen: _____T° = adjungierte Operator zu T _____Anstelle der Zahl Lambda schreibe ich a _____a’ = konjugierte Zahl zu a Satz 2: Wenn T, R selbstadjungiert, dann ist auch T+R selbstadjungiert. Beweis: Laut Definition gilt für selbstadjungierte Operatoren T, R [Tx\|y]=[x\|Ty] [Rx\|y]=[x\|Ry]. Hierbei ist [...\|...] das Skalarprodukt. x, y sind beliebige Vektoren. Für die Summe T+R ist also zu zeigen [(T+R)x\|y]=[x\|(T+R)y]. Unter Ausnutzung der Linearität gilt -------------------- Satz 3: Wenn T normal, dann ist auch aT normal (a=komplexe Zahl) Beweis: Ein Operartor O ist per definitionem normal, wenn OO°=O°O. Zu zeigen ist also (aT)(aT)°=(aT)°(aT). Wir benutzen, dass (aT)°=a’T°, wobei a' konjugiert zu a ist. Also w.z.b.w. --------------------- Satz 4: Wenn T selbstadjungiert, dann ist auch aT selbstdjungiert. Beweis: Dieser Satz stimmt nur im Reellen, nicht aber im Komplexen. Der adjungierte Operator ist nämlich w.z.b.w. --------------------- Einige Stellen gestrichen, siehe nächsten Beitrag. (Mazze)
31.03.2009, 15:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich sind Komplettlösungen hier nicht erwünscht, siehe Boardprinzip. Ansonsten ist Aussage 1 auch falsch daher sollte man ein Gegenbeispiel angeben. Sind A , B normale Matrizen und gilt $\begin{eqnarray} A^HB = BA^H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^HA = AB^H \end{eqnarray}$ dann ist auch die Summe normal. Im unendlichdimensionalen für stetige Operatoren gilt auch noch $\begin{eqnarray} (A + B)^ = A^* + B^* \end{eqnarray}$ daher ist dort auch für $\begin{eqnarray} A^B = BA^, AB^* = B^A \end{eqnarray}$ die Summe normal. Für unbeschränkte A und B wirds ungleich schwieriger.

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