DiffGeo: Hauptkrümmungsrichtungen bestimmen

31.03.2009, 11:35

Cordovan

DiffGeo: Hauptkrümmungsrichtungen bestimmen

Moin!

Ich wollte zu einem gegebenen Hyperflächenstück die Hauptkrümmungsrichtungen sowie Gauß- und mittlere Krümmung berechnen.

Die Parametrisierung lautet:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\times\mathbb R\rightarrow\mathbb R^3,\qquad f(u,v)=(u,v,u^2+v^2) \end{eqnarray*}$ .

Die Fläche ist also als Graph parametrisiert.

Ich hab die erste und zweite Fundamentalform bestimmt:

$\begin{eqnarray*} g_f=\begin{pmatrix}u^2+1&uv\\uv&v^2+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b_f=\frac{1}{\sqrt{1+4u^2+4v^2}}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Frage: stimmt das soweit?

Danach hab die Weingartenabbildung durch $\begin{eqnarray*} S_f=g_f^{-1}b_f \end{eqnarray*}$ berechnet. Dabei hab ich erhalten

$\begin{eqnarray*} S_f=\frac{1}{\sqrt{1+4u^2+4v^2}\left[(u^2+1)(v^2+1)-u^2v^2\right]}\cdot\begin{pmatrix}v^2+1&-uv\\-uv&u^2+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Frage: ist die Weingatenabbildung richtig bestimmt?

So, falls ich das bisher richtig gemacht habe, stellt sich mir die Frage: da die Hauptkrümmungsrichtungen Eigenvektoren von S sind, wie soll ich die bestimmen? Ich gehe davon aus, dass ich mich bis hierhin verrechnet habe und das nicht wirklich von mir verlangt wird.

Vielen Dank schonmal,

Cordovan

01.04.2009, 19:14

Cordovan

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Ich frage nochmal vorsichtig nach... Gibt es noch eine andere Methode, Hauptkrümmungsrichtungen zu bestimmen? Hab ich mich verrechnet oder Blödsinn gerechnet?

Cordovan

02.04.2009, 14:16

Ehos

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Ich sage kurz, was die Hauptkrümmungen anschaulich bedeuten und wie man sie berechnet:

Bei der Fahrt mit einer Achterbahn mit der konstante Geschwindigkeit |v|=1 wirkt auf den Fahrgast aufgrund der Krümmung der Bahn eine Beschleunigung x’’ (=2.Ableitung des Weges nach der Zeit). Man kann diese Beschleunigung x’’ in zwei Anteile zerlegen

Erstens:
Die Normalbeschleunigung aufgrund von Berg-Tal-Fahrt. Diese drückt den Fahrgast senkrecht in den Sitz hinein oder aus dem Sitz heraus. Diese Normalbeschleunigung ist die Projektion der Beschleunigung auf den Normalvektor, also (N*x’’)*N.

Zweitens:
Die seitliche Beschleunigung aufgrund der Rechts-Links-Kurven. Diese drückt den Fahrgast seitlich aus dem Sitz. Diese seitliche Beschleunigung steht senkrecht auf der Normalbeschleunigung und ist die Projektion der Beschleunigung auf die Ebene der Schienen.

Geht ein Wanderer im Gebirge (=gekrümmte Fläche), so wirken dort aufgrund der gekrümmten Fläche ebenfalls seitliche und senkrechte Kräfte (wie bei der Achterbahn).

Definition (Hauptkrümmung):
Steht der Wanderer an einem bestimmten Punkt im Gebirge, so bezeichnet man diejenige „Wander-Richtungen“ mit dem größten bzw. kleinsten Betrag der Normalbeschleunigung als Hauptrichtungen. Das heißt, in diese Richtungen wird der Wanderer am meisten bzw. am geringen nach unten oder oben gedrückt (wie bei der Berg-Tal-Fahrt mit der Achterbahn). Die zugehörigen Beträge N*x’’ der bezeichnet man als Hauptkrümmungen.

Durch eine einfache Rechnung kann man zeigen, dass N*x’’ gerade der Quotient der 2 und 1. Grundform ist

N*x’’=(2.Grundform)/(1.Grundform)

Die Hauptkrümmungen sind also gerade die Extremwerte dieses Ausdruckes. Man nennt diesen Ausdruck auch „Weingartenform“. Durch weiters Lösen dieser Extremwertaufgabe kommt aman auf eine einfache quadratische Gleichung, deren Lösungen die Hauptkrümmungen sind.

02.04.2009, 15:13

Cordovan

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Das mag alles stimmen, eine Anschauung dazu habe ich auch. Das Problem ist aber nicht die Bestimmung der Hauptkrümmungen, sondern der Hauptkrümmungsrichtungen. Kannst du mir in meinem konkreten Fall dabei helfen?

Cordovan

03.04.2009, 08:36

Ehos

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Ich kann dir vorrechnen, wie man die Richtungen der Hauptkrümmungen berechnet. Da echte Lösungen hier nicht gegeben werden dürfen, schicke ich dir die Erläuterung bei Bedarf deine E-Mail Adresse. Schreibe mal an [email protected].

10.04.2009, 19:06

Cordovan

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Du musst es mir ja nicht vorrechnen, aber kannst du mir einen Tipp geben, was ich falsch gemacht habe / wie ich jetzt weiterkomme?

Cordovan

10.04.2009, 20:59

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Ehos
Da echte Lösungen hier nicht gegeben werden dürfen

Hallo, sind wir hier etwa beim Militär oder was?

Boardbrinzip $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ Dogma

16.04.2009, 12:55

Cordovan

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Versprochen: das ist das letzte Mal, das ich frage.

Kann mir vielleicht noch jemand helfen und mir einen Tipp geben?

Cordovan

22.04.2009, 15:59

Frank Xerox

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RE: DiffGeo: Hauptkrümmungsrichtungen bestimmen
Insbesondere die Wahl des Vorzeichens beim 2. Fundamentaltensor (oder auch Weingartenabbildung) ist in der Literatur nicht einheitlich.

Sei $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine Immersion.

Für die Koeffizienten der Metrik $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat man:

$\begin{eqnarray*} g_{ij}=\left\langle\frac{\partial F}{\partial x_i},\frac{\partial F}{\partial x_j}\right\rangle. \end{eqnarray*}$

Der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Immersion lautet:

$\begin{eqnarray*} N=\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}\times\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\left\| \frac{\partial F}{\partial x_1}\times\frac{\partial F}{\partial x_2}\right\| }. \end{eqnarray*}$

Die 2. Fundamentalform hat die Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} h_{ij}=\left\langle N,\frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_1} \right\rangle. \end{eqnarray*}$

Die Gaußsche Krümmung $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ berechnet sich dann als:

$\begin{eqnarray*} G=\frac{h_{11}h_{22}-h_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}. \end{eqnarray*}$

Die Mittlere Krümmung $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ berechnet sich dann als:

$\begin{eqnarray*} H=\frac{h_{11}g_{22}+h_{22}g_{11}-2h_{12}g_{12}}{2(g_{11}g_{22}-g_{12}^2)}. \end{eqnarray*}$

Die Hauptkrümmungen $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \ \mbox{und} \ \lambda_2 \end{eqnarray*}$ lassen sich dann (als Eigenwerte des 2. Fundamentaltensors) mittels $\begin{eqnarray*} K \ \mbox{und} \ H \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=H+\sqrt{H^2-K},\\ \lambda_2=H-\sqrt{H^2-K}. \end{eqnarray*}$

Zur Veranschaulichung nun ein Beispiel:

Ein Helikoid ist gegeben durch die Immersion:

$\begin{eqnarray*} F:\mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R^3,~ F(s,t)=\left(\begin{array}{c} s\cdot\cos{t} \\ s\cdot\sin{t} \\ t\end{array}\right). \end{eqnarray*}$

Für diesen Helikoid berechnet man dann:

$\begin{eqnarray*} K=-\left(\frac{1}{1+s^2}\right)^2,~H=0,~\lambda_1=\frac{1}{1+s^2},~\lambda_2=\frac{-1}{1+s^2}. \end{eqnarray*}$

22.04.2009, 16:07

Frank Xerox

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RE: DiffGeo: Hauptkrümmungsrichtungen bestimmen
Eben ist mir aufgefallen, dass ich oben die Riemannsche Schnittkrümmung $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ einfach so ins Spiel gebracht habe. Das ist nicht weiter tragisch da laut Theorema Egregium von Gauß für eine Immersion $\begin{eqnarray*} F:U\longrightarrow \mathbb R^3,~U\subset\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} K=G. \end{eqnarray*}$

Gaußsche Krümmung und Riemannsche Schnittkrümmung sind hier also identisch.

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