Hessesche Normalform und Abstand

31.03.2009, 12:07

sarazen

Hessesche Normalform und Abstand

hi,

ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene durch die Punkte
P1(3; 7; 4), P2(3; 1; 7), P3(4; 5; 4)
sowie ihren Abstand vom Ursprung.

ich habe erstmal die Ebenengleichung gemacht:
$\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} E: (\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \sqrt{6^2+3^2+(-6)^2}= \sqrt{81} \end{eqnarray*}$

um dann die HNF zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} E: (\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{81}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meine frage nun wie ich da den Abstand vom Ursprung berechne?

PS: ich hoffe die HNF stimmt!

mfg

31.03.2009, 13:44

IfindU

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Wurzel 81 ist gleich 9. Und du musst für x nur noch die Koordinaten des Ursprungs einsetzen und erhälst ein d als Lösung. Da fehlt noch eine Klammer nach dem Ortsvektor.

31.03.2009, 13:48

Bjoern1982

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Zitat:

ich habe erstmal die Ebenengleichung gemacht: $\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der erste Richtungvektor stimmt nicht.

31.03.2009, 16:03

sarazen

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ich habe gerade gemerkt das ich da + und - dreher drinne habe

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: ( \vec{x} -\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}) \cdot \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so müsste die HNF nun stimmen.

ist der ursprung P1? oder was muss ich da einsetzen

31.03.2009, 19:03

IfindU

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Der Ursprung definiert mit alle Punkte: U(0|0|0), dort wo alle Koordinatenachsen zusammen laufen Augenzwinkern

Übrigens kannst du noch mit 3 kürzen rechts.

01.04.2009, 06:53

sarazen

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alles klar

danke für die schnelle hilfe

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