Zufallszahlen erzeugen

31.03.2009, 17:32

muemmel_0811

Zufallszahlen erzeugen

Hallo Ihr,

nachdem ich mit der Zufallszahlenerzeugung a la Inversionsmethode nicht weiter komme, da die Summe der generierten Zufallszahlen zu großen Schwankungen unterliegt, bin ich Laie auf der Suche nach einer anderen Möglichkeit, Zufallszahlen zu erzeugen.
Ich bilde mir ein, irgendwo gelesen zu haben, dass man, wenn man eine gemessene Datenbasis hat und die Verteilung kennt, aus diesen Informationen, "zuverlässige" Zufallszahlen generieren kann.

Stimmt das oder bilde ich mir da was ein?

Danke und Grüße,
muemmel_0811

31.03.2009, 17:37

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Zitat:

Original von muemmel_0811
nachdem ich mit der Zufallszahlenerzeugung a la Inversionsmethode nicht weiter komme, da die Summe der generierten Zufallszahlen zu großen Schwankungen unterliegt,

Wenn du sowas pauschal in den Raum wirfst, solltest du es näher untersetzen. Oder sowas ganz bleiben lassen. Augenzwinkern

Wenn man nur von "Zufallszahlen" spricht, meint man gewöhnlich Realisierungen von auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilten Zufallsgrößen. Ist es das, was du meinst, oder willst du andere Verteilungen simulieren?

01.04.2009, 09:12

muemmel_0811

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von muemmel_0811
nachdem ich mit der Zufallszahlenerzeugung a la Inversionsmethode nicht weiter komme, da die Summe der generierten Zufallszahlen zu großen Schwankungen unterliegt,

Wenn du sowas pauschal in den Raum wirfst, solltest du es näher untersetzen. Oder sowas ganz bleiben lassen. Augenzwinkern

Ich bitte vielmals um Entschuldigung, wenn ich mich nicht mathematisch genug ausdrücke, aber ich bin mit diesem exakten Sprachgebrauch nicht besonders vertraut Ups

Trotzdem will ich versuchen zu erklären, was ich bisher gemacht habe - verwendete Software ist R:
Ich habe 10 normalverteilte Zufallszahlen im Intervall [0;1] erzeugt. Dann habe ich versucht mittels dieser Zufallszahlen gammaverteilte Zufallszahlen zu erzeugen:

code:
1: 2:	zz <- runif(10, 0, 1) y <- qgamma(zz, shape=10, scale=6)

Klappt ja auch an sich ganz gut, nur die Summe dieser 10 Zufallszahlen schwankt leider viel zu sehr, als dass ich diese Zahlen weiter verwenden könnte. Wenn man das Verfahren verbessern kann, bin ich ganz Ohr smile

Und deshalb bin ich auf der Suche nach anderen Methoden, Zufallszahlen zu erzeugen, die aber einfach deutlich exakter sind. Und da dachte ich eben irgendwo gelesen zu haben, dass das mit Verfahren ? und einer ausreichenden Datenbasis möglich wäre - wie gesagt, ich kann mich aber auch täuschen und deshalb frage ich hier.

Grüße,
muemmel_0811

01.04.2009, 12:45

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Hallo,

Zitat:

Original von muemmel_0811
Und deshalb bin ich auf der Suche nach anderen Methoden, Zufallszahlen zu erzeugen, die aber einfach deutlich exakter sind.

Wie können denn Zufallszahlen exakter sein? Führt dieses nicht das Prinzip von Zufallszahlen ad absurdum?

Und wenn man 10 echte Zufallszahlen zwischen 0 und 1 erzeugt, dann ist es normal, dass die Summe dieser stark schwankt. Sind nunmal Zufallszahlen Augenzwinkern

Nur bei hinreichend vielen Zufallszahlen kann man die Summe derer ungefähr vorhersagen (~n/2 bei n Zufallszahlen).

Die besten Zufallsgeneratoren, nach echten Zufallsgeneratoren, sind kryptographisch sichere Zufallsgeneratoren.
Dort kann man sich sicher sein, dass damit erzeugte Zufallszahlen nicht von echten Zufallszahlen unterschieden werden können.
Ist nur die Frage ob man solch einen in R umsetzen kann.

Aber normalerweise sollte solch ein Aufwand nicht notwendig sein

01.04.2009, 13:17

muemmel_0811

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Zitat:

Original von 42
Wie können denn Zufallszahlen exakter sein? Führt dieses nicht das Prinzip von Zufallszahlen ad absurdum?

Na ja, exakter im Sinne von, Summen treu oder so - wie auch immer man das nennen mag.
Ausgangspunkt ist eine Gesamtgesprächszeit von 10 min. Diese 10 min setzen sich aus 5 Gesprächen zusammen. Nun will ich 5 Zufallszahlen, die in Summe wieder diese 10 min ergeben und nicht mal 7,3 min, mal 9,9 min, mal 10,2 min, mal 13,4 min usw..
Einzige Bedingung dabei ist, dass diese Einzelgesprächszeiten eben gammaverteilt sein sollen.

Jetzt verständlicher?

Grüße vom muemmel_0811

01.04.2009, 13:19

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Die Summe $\begin{eqnarray*} S=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch gammaverteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \sim \gamma(b,p) \end{eqnarray*}$ ist wiederum gammverteilt, und zwar $\begin{eqnarray*} S\sim \gamma(b,np) \end{eqnarray*}$ . Insofern ist dein Vorgehen reichlich umständlich, das kannst du einfacher haben durch direkte Simulation von $\begin{eqnarray*} \gamma(b,np) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Hatte deinen letzten Beitrag noch nicht gelesen. Die Summe von gammaverteilten Zufallsgrößen soll konstant (=10) sein??? Zumindest mit unabhängigen Gesprächsdauern ist das definitiv nicht möglich. Wenn du Abhängigkeiten zulässt, mag es gehen - der Sinn eines solchen Anliegens ist allerdings mehr als zweifelhaft.

EDIT2: Nein, auch mit abhängigen Gesprächsdauern geht es nicht: Die Einzelgesprächsdauern sind ja auch durch 10 min limitiert, was schon im Widerspruch zur Gammaverteilung steht, denn die ist im Wertebereich nach oben unbeschränkt.

01.04.2009, 14:21

muemmel_0811

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Die Summe $\begin{eqnarray*} S=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch gammaverteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \sim \gamma(b,p) \end{eqnarray*}$ ist wiederum gammverteilt, und zwar $\begin{eqnarray*} S\sim \gamma(b,np) \end{eqnarray*}$ . Insofern ist dein Vorgehen reichlich umständlich, das kannst du einfacher haben durch direkte Simulation von $\begin{eqnarray*} \gamma(b,np) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Hallo Arthur,

kannst Du das bitte für einen Laien noch mal etwas verständlicher erklären? Denn der erste Absatz liest sich so, als ob es geht und im 2. und 3. geht's dann doch wieder nicht???

Danke und Grüße,
muemmel_0811

01.04.2009, 14:29

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Da hast du das Gelesene aber völlig falsch interpretiert:

Im ersten Abschnitt habe ich erläutert, dass die Summe unabhängiger gammaverteilter Zufallsgrößen wiederum gammaverteilt ist.

Das ist dann auch die Begründung dafür, dass diese Summe NICHT konstant sein kann (zweiter Abschnitt). Dort habe ich ohne Nachdenken noch die Möglichkeit offengelassen, dass es mit abhängigen gammaverteilten Zufallsgrößen vielleicht doch möglich sein könnte.

Was sich "mit" etwas Nachdenken dann auch als unmöglich herausstellt (dritter Abschnitt).

Summa summarum: Du willst also etwas unmögliches erreichen. Von irgendeiner Forderung musst du also ablassen: Entweder von der Gammaverteilung, oder aber von der konstanten Summe.

01.04.2009, 14:34

muemmel_0811

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Ok - jetzt habe ich verstanden smile

- Danke für die Geduld.

Nehmen wir mal an, ich würde von der Gammaverteilung absehen, was gibt es denn dann für Alternativen - gibt es Verteilungen, die "Summen treu" sind?

Danke und Grüße vom
muemmel_0811

01.04.2009, 14:44

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Naja, als pragmatischer Ausweg könntest du ja mit der ermittelten Summe "normieren":

D.h., statt der gammaverteilten $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nimmst du die normierten Werte $\begin{eqnarray*} Y_i := X_i \cdot \frac{10}{S} \end{eqnarray*}$ , dann gilt garantiert $\begin{eqnarray*} Y_1+\cdots+Y_n = 10 \end{eqnarray*}$ .

Wie die Verteilung dieser $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ dann zu charakterisieren ist, bliebe allerdings einer näheren (nicht ganz einfachen) Rechnung vorbehalten.

02.04.2009, 09:19

muemmel_0811

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Ich probier das mal - Danke!

Aber, um noch mal auf meine eigentlich ursprüngliche Frage zu kommen: gibt es ein Verfahren, mit dem man, wenn man denn genügend reale, also gemessene, Daten hat, "zuverlässige" Zufallszahlen erzeugen kann? Oder meinetwegen aus den Original-Daten ableiten oder wie auch immer...

Danke und Grüße,
muemmel_0811

02.04.2009, 10:15

muemmel_0811

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Irgendwas mach ich falsch Hilfe

Ausgangspunkt sind 600 s und einem Mittelwert von 55 s.
Folgende $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ hab ich gammaverteilt generiert:

60,11405; 39,47815; 44,78334; 85,09909; 28,55607; 42,07392; 42,44876; 32,47193; 59,21019; 95,41695

Excel berechnet s zu 22,1577238 - mit s ist doch die Standardabweichung gemeint gewesen oder etwa nicht.
Dann erhalte ich mit $\begin{eqnarray*} y=\sum_{i=1}^{10}~(x_i*\frac{600}{s}) \end{eqnarray*}$ aber alles andere als 600. verwirrt