Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion!

01.04.2009, 15:25	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion! Also ich bin am Verzweifeln. Gesucht ist die Stammfunkton von $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{ \sqrt{x} (1+\sqrt[3]{x})} ; x>0 \end{eqnarray}$ Mein erster Ansatz partielle Integration führte zu keinem Ziel. Zweifache Substitution $\begin{eqnarray} (u:= \sqrt{x}, z:= \sqrt[3]{u^{2}}) \end{eqnarray}$ fürht mich dazu, dass $\begin{eqnarray} \int~f(x)~dx \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} 3\int~\frac{\sqrt{z}}{1+z}~dz \end{eqnarray}$ ist. Dummerweise gelingt es mir jetzt nicht, dieses scheinbar deutlich leichtere Integral zu lösen. Mit partieller Integration kam ich hier irgendwie erneut nicht weiter und andere Ansätze fehlen mir. Deswegen bitte ich nun um eure Hilfe, mich auf die richtige Fährte zu bringen, wie ich eines der beiden Integrale lösen kann. Dankeschön
01.04.2009, 15:33	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion! Damit wir einen Fehler finden, mußt du schon etwas mehr von deiner Rechnung preisgeben. In jedem Fall dürfte die direkte Subsitution x = u^6 einfacher zu rechnen sein.
01.04.2009, 18:37	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion! Ok, danke erstmal für die Hilfsbereitschaft. Ich hab das jetzt mal mit deinem Substitutionsvorschlag ausprobiert und es läuft wieder auf das alte Problem $\begin{eqnarray} \int~\frac{\sqrt{z}}{z+1}~dz \end{eqnarray}$ hinaus. Hier mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} \int~f(x)~dx = \int~\frac{1}{\sqrt{x} (1+\sqrt[3]{x})}~dx = \int~\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}} (1+ x^{\frac{1}{3}})}~dx \end{eqnarray}$ Substitution 1 : $\begin{eqnarray} u:=x^{\frac{1}{6}} \Rightarrow x^{\frac{1}{2}}= u^{3}, x^{\frac{1}{3}}= u^{2}, x^{\frac{5}{6}}= u^{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} du = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} dx \Rightarrow dx = 6x^{\frac{5}{6}} = 6u^{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int~f(x)~dx = \int~6\frac{u^{5}}{u^{3}(1+u^{2})}~du = 6\int~\frac{u^{2}}{1+u^{2}}~du \end{eqnarray}$ Substitution 2: $\begin{eqnarray} z:=u^{2} \Rightarrow u = \sqrt{z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dz = 2u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} du \Rightarrow du = \frac{1}{2u} dz = \frac{1}{2\sqrt{z}} dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int~f(x)~dx = 6\int~\frac{u^{2}}{1+u^{2}}~du = 6\int~\frac{1}{2} \frac{z}{\sqrt{z}} \frac{1}{z+1}~dz = 3\int~\frac{\sqrt{z}}{z+1} ~dz \end{eqnarray}$ Ich hoffe, ihr könnt einen Fehler finden, damit es bei mir irgendwie weiter geht. Oder es gibt einen schlauen Kopf, der mir sagen kann, wie mann das letzte Integral auflösen kann. Danke. Max
01.04.2009, 18:44	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion! $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int~f(x)~dx = \int~6\frac{u^{5}}{u^{3}(1+u^{2})}~du = 6\int~\frac{u^{2}}{1+u^{2}}~du \end{eqnarray}$ Jetzt Polynomdivision...
01.04.2009, 18:49	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion! Was soll das mit der 2. Substitution? Du kannst doch $\begin{eqnarray} \int~\frac{u^2}{1+u^2}~du \end{eqnarray}$ ganz leicht integrieren (auch ohne Polynomdivision): $\begin{eqnarray} \int~\frac{u^2}{1+u^2}~du = \int~\frac{1+u^2-1}{1+u^2}~du = \int~1~du - \int~\frac{1}{1+u^2}~du \end{eqnarray}$
01.04.2009, 19:46	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ich komm einfach nicht auf die Stammfunktion! stimmt, da hab ich mal wieder zu kompliziert gedacht. Auf Polynomdivision hätte ich kommen müssen, da Zähler und Nenner den gleichen Grad haben. Um solche Ergänzungen mit einer 0 bzw. 1 zu erkennen, fehlt mir dummerweise noch der Blick. Deswegen ist es ja umso besser, solche Lösungswege immer mal wieder gezeigt zu bekommen. Ich führe die Aufgabe nun noch zu Ende: $\begin{eqnarray} \int~f(x)~dx = \int~\frac{u^{2}}{1+u^{2}}~du = \int~1~du - \int~\frac{1}{1+u^{2}}~du = u - arctan(u) \end{eqnarray}$ Rücksubstitution: $\begin{eqnarray} \int~f(x)~dx = x^{\frac{1}{6}} - arctan(x^{\frac{1}{6}}) = \sqrt[6]{x} - arctan(\sqrt[6]{x}) \end{eqnarray}$ Also ich hoffe, das stimmt so alles. Danke an alle Helfer. PS: Wieso ist es mir nicht gelungen, das letzte Integral nach meiner Methode einer 2. Substituion zu lösen? ist das nicht so einfach, wie es aussieht, oder gibts auch dort so einen Trick, wie das Ergänzen eines neutralen Elementes?
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