komplexe Zahlen

01.04.2009, 18:17

Hängemathe

komplexe Zahlen

Ich mal wieder mit den komplexen Zahlen Wink

Zu finden sind alle komlexen Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} z^6-1=0 \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:

1. $\begin{eqnarray*} z^6=1 =1+0 \cdot i \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} z=r \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} z^n=r^n(cos(n \phi)+i sin (n \phi) ) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ habe ich $\begin{eqnarray*} \phi= \pi \end{eqnarray*}$ gewählt, der Betrag sowohl von $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ als auch von den Lösungen ist 1.

Meine erste Lösung wäre nach 3. demnach

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{i \frac{\pi}{6} } \end{eqnarray*}$ und die weiteren dann $\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{i( \frac{\pi}{6} +\frac{2k \pi}{6} )} \end{eqnarray*}$ , wobei k von 1 bis 5 läuft (eigentlich von 0 bis 5, die erste Lösung hatte ich aber schon hingeschrieben).

Leider stimmt das Ergebnis nicht. Wo ist mein (Denk-)Fehler? Ich habe probiert strikt nach Schema vorzugehen und es doch vergeigt böse

01.04.2009, 18:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Hängemathe
Für $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ habe ich $\begin{eqnarray*} \phi= \pi \end{eqnarray*}$ gewählt,

Da ist der Fehler und offensichtlich hast du das Schema nicht verstanden. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \pi} = -1 \end{eqnarray*}$ und nicht 1. Augenzwinkern

01.04.2009, 19:06

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch gar nicht geschrieben dass $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \pi} = 1 \end{eqnarray*}$ sein soll?

Da $\begin{eqnarray*} z^6=1 =1+0 \cdot i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi = arctan \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ für x>0 ist wäre doch $\begin{eqnarray*} \phi = \pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ um die erste Lösung zu erhalten?

01.04.2009, 20:03

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann das Argument von $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein, weil der Tangens von Pi zwar Null ist, dann aber die Gleichung nicht erfüllt ist? Also müsste ich z.B. $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ sein ?

Meine Lösungen wären demnach

$\begin{eqnarray*} e^{i(2 \pi + \frac{2k \pi}{6})} \end{eqnarray*}$ . Da Kosinus und Sinus aber $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch sind sind alle Lösungen

$\begin{eqnarray*} e^{i\frac{k \pi}{3}} \end{eqnarray*}$ für k von 0-5 ?

02.04.2009, 08:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hängemathe
Da $\begin{eqnarray*} z^6=1 =1+0 \cdot i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi = arctan \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ für x>0 ist wäre doch $\begin{eqnarray*} \phi = \pi \end{eqnarray*}$

Du benutzt einfach Formeln, ohne die Randbedingungen zu kennen oder zu beachten. Die Bildmenge des arctan ist das Intervall (-pi/2, pi/2). arctan(0) ist dann eben Null und nichts anderes.

Zitat:

Original von Hängemathe
Also kann das Argument von $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein

Falsch formuliert. Es geht lediglich um das Argument der Zahl 1.

Zitat:

Original von Hängemathe
Also müsste ich z.B. $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ sein ?

Warum nicht einfach Null? verwirrt

Zitat:

Original von Hängemathe
Meine Lösungen wären demnach

$\begin{eqnarray*} e^{i(2 \pi + \frac{2k \pi}{6})} \end{eqnarray*}$ .

Zufälligerweise richtig. Bei einem anderen Argument phi wäre es aber falsch. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} z_k = e^{i \cdot \frac{\phi + 2k \pi}{6}} \end{eqnarray*}$ mit k = 0, ..., 5

02.04.2009, 13:58

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tipps. Kann ich schon nachvollziehen. Allerdings gibt mein Skript bezüglich der Auswahl von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht mehr her, sonst würde ich hier wohl nicht mit diesem Fehler auflaufen :-/

02.04.2009, 15:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hängemathe
Allerdings gibt mein Skript bezüglich der Auswahl von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht mehr her,

Das ist schlecht. Aber man kann sich ja leicht selbst überlegen, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt und welche trigonometrischen Formeln anzuwenden sind.

02.04.2009, 15:56

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe Zahlen
Das ist in der Tat schlecht. Unrecht hast du ja nicht, dazu braucht man aber die nötige Übung und Erfahrung. Leute wie euch die die Analysis und Algebra sehr gut verstehen wissen natürlich sofort worauf zu achten ist. Ich muss mir diese Erfahrung erst aneignen und aus den Fehlern und Unklarheiten lernen.

Und dann lieber jetzt beim Lernen diese Erfahrung machen als in der Klausur-Einsicht :-)

04.04.2009, 14:05

California

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} z^6-1 = 0 \end{eqnarray*}$

man kann auch x=z^3 setzen...dann $\begin{eqnarray*} x^2-1=0 \end{eqnarray*}$ dort die Nullstellen ermitteln und dann weiter rechnen

Lg

04.04.2009, 15:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüßte jetzt nicht, was man damit gespart hat.

07.04.2009, 10:31

California

Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja ich bin kein Mathematiker und versuche immer den effektivsten (=schnellsten und einfachsten) Rechenweg zu wählen...habe jetzt mal just 4 fun beide Rechenwege probiert und bin mit meinem Rechenweg in 4 Minuten zum Ergebnis gekommen. Der andere hat mich fast 10 gekostet...

Lg

07.04.2009, 11:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht, was du da rechnest. Für die Lösung von z_6 = 1 braucht man nur in die einschlägige Formel einsetzen, erhält somit $\begin{eqnarray*} z_k = e^{i \cdot \frac{2k \pi}{6}} \end{eqnarray*}$ mit k = 0, ..., 5 und fertig. Das ist eine Sache von weniger als einer Minute. Was willst du da noch rechnen? verwirrt

07.04.2009, 11:08

California

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok habe es irgendwie anders gedacht/bzw. komplizierter ;-)

Geben mich geschlagen deine Rechnung geht schneller hihi, würds aber dennoch mit meinem Ansatz machen smile

07.04.2009, 20:11

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Darstellung einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z=re^{i\phi} \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten ist der Betrag r von z der euklidische Abstand von 0, das Argument $\begin{eqnarray*} \phi\ \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen dem Ortsvektor z (Ortsvektor heißt Pfeil von 0 nach z) und der (reellen) x-Achse im mathematisch positiven Sinn.

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bekommt bei Benutzung von Polarkoordianten eine einfache geometrische Bedeutung. Ist $\begin{eqnarray*} a=r_ae^{i\phi_a},b=r_be^{i\phi_b} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} ab=(r_ar_b)e^{i(\phi_a+\phi_b)} \end{eqnarray*}$ , d.h. bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

Besonders einfach werden Multiplikationen also offenbar dann, wenn die Beträge der Faktoren beide =1 sind, denn dann werden nur die Argument addiert, das Produkt der Beträge ist ja 1*1=1. Heureka ! Jetzt ist es kinderleicht, alle n.ten Einheitswurzeln zu finden (das sind die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} \zeta^n=1 \end{eqnarray*}$ .) Sie haben alle den Betrag 1, und sie teilen den Einheitskreis in n gleiche Teile. Die n.te Einheitswurzel mit dem kleinsten positiven Argument ist $\begin{eqnarray*} \zeta=e^{\frac{2\pi i}{n}} \end{eqnarray*}$ , und alle n. Einheitswurzeln berechnet man so: $\begin{eqnarray*} \zeta_k=e^{\frac{2\pi i*k}{n}}, k=(0,...,n-1) \end{eqnarray*}$ (exakt so, wie klarsoweit das für die 6. Einheitswurzel gemacht hat).

Neue Frage »

Antworten »

komplexe Zahlen

Verwandte Themen