[Artikel] Von der Menge zum Vektorraum - Basics der Linearen Algebra

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Herbststurm Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Von der Menge zum Vektorraum - Basics der Linearen Algebra
Hi, smile

ich schreibe derzeit an einem kleinen Artikel der das Ziel haben soll den Begriff des Vektorraumes zu erklären. Dabei gehe ich so vor wie ich es mir rückblickend gewünscht hätte, es jedoch nicht so präsentiert bekam. Später sollen dann natürlich einige Musterbeispiele und Aufgaben dazu kommen, schon klar, aber bevor es soweit ist solte erstmal die Didaktik und Theorie passen. Daher dieser Thread.

Könntet ihr ihn bitte Probe lesen und mir Feedback geben ob ihr das umändern würdet und ob das soweit okay ist um jemandem der noch nicht die Lineare Algebra Vorlesungen gehört hat klar zu machen was ich da will? Und falls ich Schlampigkeitsfehler drinnen haben sollte, dann diese natürlich auch bemängeln Augenzwinkern

Ich stelle ihn mal so hinein wiweit er bis jetzt ist. Have Fun smile

Von der Menge zum Vektorraum - Basics der Linearen Algebra

Erst wollen wir den Standort gehörig erwägen, auf dem jeder von uns hält, damit wir umso redlicher Licht und Wetter teilen können - Gotthold Ephraim Lessing


I Einleitung, Motivation und geschichtlicher Rückblick

Wenn dich jemand fragt: "Was ist Mathematik?"
Dann antworte: "Die Weisheit hat sich ihr Haus gebaut."
Präziser geht es, m.M.n. nicht mehr.

Die Mathematik lässt sich rekursiv auf die Mengenlehre zurückführen. (Wie wir später sehen werden, benötigt dies aber Axiome) Der Begriff Axiom und Mathematik schließen sich a priori aus, wir werden aber sehen (und beweisen), wie die sogenannte Russelsche Antinomie eine Atombombe im Haus der Mathematik war.

Erste konkrete Vorstellungen über den Begriff der Menge finden sich in den Arbeiten von Hard Bolzano, welcher den Begriff der "Vielheit" einführte. Bolzano vertrat die Ansicht, dass unendlich viele Objekte gleich viel sein können wie endlich viele Objekte.
Richard Dedekind nutzte seine Schriften um den Begriff der Endlichkeit weiter zu untersuchen. Er zweifelte die Existenz "wirklicher Zahlen" an und schlug vor den Begriff der Zahl durch den des "Ideal" zu erstezen. Zermelo griff dies auf für sein später folgendes Zermelo-Axiomensystem. Der Vater der Mengenlehre, welcher letzlich das Werk vollendete war dann Georg Cantor. "Dem Schöpfer der Mengenlehre Herrn Georg Cantor, in dankbarer Verehrung gewidmet" steht im Titel Hausdorffs berühmten Werkes aus der Topologie.
Das Konzept der Mengentheorie schien perfekt, bis Bertrand Russel und Ernst Zermelo Widersprüche fanden, welche das Konstrukt wie ein Kartenhaus zusammen brechen ließen. Dies war der Startschuss für die Einführung von Axiomen. Axiome die nicht bewiesen werden. Mit ihnen und der Mengenlehre lässt sich die gesamte Mathematik begründen.


II Benötigte Hilfsmittel auf dem Weg zum Vektorraum

Begriffe der Mengenlehre

Georg Cantor, der Schöpfer der Mengenlehre, schreibt in seinem Werk "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" von 1895 folgende Definition:
Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von genannt werden) zu einem Ganzen.

Gekennzeichnet werden sie i.d.R. durch geschwungene Klammern: Hier die Menge des Obstes in einer Schale: Dies ist z.B. eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten unserer Anschaung.

Das Elementsymbol bedeutet, dass ein Objekt zur Menge gehört.
Dagegen ist

Das kartesische Produkt:
Das kartesische Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller geordneter Paare mit und . Also:


Benötigter Begriff aus der Analysis: Die Abbildung

Auf Abbildungen stößt man täglich. Jedem Kraftfahrzeug wird ein Nummernschild zugeordnet. Zu jedem Menschen gibt es einen individellen Fingerabdruck, im Netzwerk wird jeder Netzwerkkarte eine eigene MAC-Adresse zugeordnet. Formal läuft der Begriff der Abbildung auf folgende Definition hinaus.

Definition Abbildung:
Eine Abbildung aus einer Menge in eine Menge ist eine Vorschrift, die jedem Element aus genau ein Element aus zuordnet. Dabei nennt man die Definitionsmenge, das Bild und wird Wertemenge getauft.

Die übliche Notaion zu obiger Definition lautet:




Definition: Innere Verknüpfung
Sei eine nichtleere Menge. Eine innere Verknüpfung auf ist eine Abbildung
Den Wert der Funktion auf dem Element notiert man als
Das Paar heißt Menge mit innerer Verknüpfung.

Ein Beispiel dazu:
Die reelen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Also ist die Abbildung:


Summe der reelen Zahlen a und b


Nun lasen sich erste algebraische Strukturen bilden:

Zum Monoid:
Eine Verknüpfung heisst assoziativ, falls für alle gilt.
Man nennt ein Einselement oder neutrales Element bezüglich der Verknüpfung auf M, wenn für alle gilt.

Ein Monoid ist eine Menge mit innerer Verknüpfung, so dass die Verknüpfung assoziativ ist und ein neutrales Element bzgl. dieser Verknüpfung existiert.
Umgangssprachlich nennt man ein Monoid auch Halbgruppe.


Vom Monoid zur Gruppe:
Ein Element heißt invers zu einem gegebenem Element , wenn gilt. Es ist dann eindeutig durch bestimmt. Dies nennt man i.A. wohldefiniert, d.h. es existiert, ist eindeutig, sinnergebend, in sich schlüssig, widerspruchsfrei, denn wäre , so folgt
I.d.R nennt man das zu inverse Element, falls es existiert,

Eine Gruppe ist ein Monoid , so dass jedes Element von ein inverses Element besitzt.
Eine Gruppe heißt abelsch bzw. kommutativ, wenn zusätzlich für jedes gilt

Die Menge aller Galileo-Transformationen von einem Inertialsystem in ein anderes bilden zum Beispiel eine Gruppe. Der Gruppenbegriff (Exakt so wie er hier definiert wurde) ist extrem wichtig für die Naturwissenschaft in unzähligen Anwendungen.


Von der Gruppe zum Ring:
Ein Ring ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen "" und "" mit den Eigenschaften:

1.) ist eine abelsche Gruppe

2.) Die Verknüpfung "" ist assoziativ.

3.) Es gelten die Distributivgesetze. Das bedeutet: und für

Wenn zusätzlich noch ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation besitzt, dann heißt ein "Ring mit Eins". Man kann entsprechend auch abkürzend sagen, dass ein "Ring mit Eins" eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen ist, so dass eine abelsche Gruppe bildet und ein Monoid und Distributivgesetze gelten.


Vom Ring mit Eins zum Körper:
Sei ein Ring mit Eins. Existiert zu jedem Element von ein Inverses Element, so heisst ein "Schiefkörper".
Ein Schiefkörper ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen, so dass eine abelsche Gruppe bildet und eine Gruppe und Distributivgesetze gelten.

Ist sogar eine abelsche Gruppe, also gilt in dieser Gruppe zusätzlich noch das Kommutativgesetz, so heißt R ein "Körper". Zukünftig sollen Körper mit bezeichnet werden.
Ein Körper ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen, so dass eine abelsche Gruppe bildet und auch eine abelsche Gruppe bildet und Distributivgesetze gelten.

Nun muss erklärt werden, was Mathematiker und Physiker unter dem wichtigen Begriff "Operator" verstehen.

Definition: Operationen
Seien und nichtleere Mengen. Eine Abbildung heißt "Operation" von auf . Man spricht: " operiert auf bezüglich der Abbildung ".
Der Wert der Abbildung auf bezeichnet man als . Für alle ist mit , eine Abbildung von .
Mit operiert auf ist also gemeint, dass allen eine Abbildung zugeordnet wird.


III Jetzt endlich: Der Vektorraum
Sei ein Körper. Eine Menge heißt "Vektorraum" bzw. "-Vektorraum" bzw "Linearer Raum" bzw. "-Modul" (Zum Begriff Modul komme ich noch) wenn für folgendes gilt:

besitzt eine innere Verknüpfung "", so dass eine abelsche Gruppe bildet.

besitzt eine Operation

Es gelten Distributivgesetze.

Die Elemente von heißen "Vektoren"




Quellen:
K. Reiss und G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie, 2 Auflage 2007, Springer Verlag
H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie, 1 Auflage 1997, Teubner Verlag
Serge Lang: Graduate Texts in Mathematics - Algebra, Third Edition 2004, Springer Publishing


In dem Fall danke für die Mühe es gelesen zu haben und das Feedback.

Grüsse
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was bezweckst du mit deiner Arbeit?

Ein paar ungeordnete Gedanken.

Du erklärst den Begriff der Menge mit Äpfel, Birnen und so weiter. Wenn es aber richtig schwierig wird, nämlich wenn du zu kommst, tust du so, als sei diese doch so komplizierte Menge etwas Selbstverständliches.

Auch das geordnete Paar scheint dir keiner Rede wert zu sein. Das weiß wohl jeder Mensch auf der Welt, was das ist.

Der klassische Funktionsbegriff kommt vielleicht aus der Analysis, der von dir verwendete Abbildungsbegriff ist aber eine Abstraktion der Mengenlehre und Algebra. Möglicherweise stand der Funktionsbegriff dabei Pate.

Umgangssprachlich habe ich schon Wörter wie Abwasserzweckverband oder Gruppeneinteilung gehört. Das Wort Halbgruppe ist mir aber noch nie begegnet.

Was bezweckst du mit deiner Arbeit?
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das Wort Halbgruppe ist mir aber noch nie begegnet.


Ein Paar (H,*) bestehend aus einer nichtleeren Menge H und einer assoziativen inneren Verknüpfung * von H heißt Halbgruppe.

Quelle: Einführung in die Algebra, g. Fischer/R.Sacher S.7
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Umgangssprachlich habe ich schon Wörter wie Abwasserzweckverband oder Gruppeneinteilung gehört. Das Wort Halbgruppe ist mir aber noch nie begegnet.
Herbststurm Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Kritik Freude



Zitat:
Original von Leopold
Was bezweckst du mit deiner Arbeit?


Mein Ziel ist es für Studenten und alle die sich für Mathematik interessieren eine Darstellung der Basics in Mathe (Hier eben die grundlegensten algebraischen Strukturen in der LAI Vorlesung) zu präsentieren, die einerseits zum Selbststudium geeignet ist und andererseits Stoff so präsentieren soll wie es viele Lehrbücher und Dozenten leider versäumen.


Zitat:
Original von Leopold

Du erklärst den Begriff der Menge mit Äpfel, Birnen und so weiter. Wenn es aber richtig schwierig wird, nämlich wenn du zu kommst, tust du so, als sei diese doch so komplizierte Menge etwas Selbstverständliches.


Du meins das von mir gegebene Beispiel. Ja, das hatte ich auch schon im Auge. Vermutlich werde ich es entfernen.

Zitat:
Original von Leopold

Auch das geordnete Paar scheint dir keiner Rede wert zu sein. Das weiß wohl jeder Mensch auf der Welt, was das ist.


Daran habe ich nicht gedacht. Stimmt. Das ist ein guter Punkt. Dazu werde ich erklärende Worte schreiben.

Zitat:
Original von Leopold

Umgangssprachlich habe ich schon Wörter wie Abwasserzweckverband oder Gruppeneinteilung gehört. Das Wort Halbgruppe ist mir aber noch nie begegnet.


Anstatt Monoid findet man oft das Wort Halbgruppe. Von Dozenten, in Büchern, etc. Genauer müsste man Halbgruppe mit Einselement sagen, wird aber oft unter dem Tisch gelassen. Monoid ist das bessere Wort für das was ich oben angebe.
Sieh es so, wenn Halbgruppe noch nie gehört hast, dann hast jetzt was dazu gelernt Augenzwinkern

Zitat:
Original von Leopold
Der klassische Funktionsbegriff kommt vielleicht aus der Analysis, der von dir verwendete Abbildungsbegriff ist aber eine Abstraktion der Mengenlehre und Algebra. Möglicherweise stand der Funktionsbegriff dabei Pate.


Bin ich nicht d'accord, aber darüber kann man mit Sicherheit streiten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Einführende Bücher in die Lineare Algebra gibt es doch haufenweise. Wenn du also da ein weiteres schreiben willst, mußt du schon etwas bieten, was diese anderen Bücher nicht haben. Ein besonderer Aspekt. Ein besonderer Schwerpunkt. Eine besondere graphische Gestaltung. Ein spezieller didaktischer Zugang.
Das, was du jedoch aufschreibst, ist Standard. Und wozu man die ganzen Begriffe braucht, wird überhaupt nicht klar.
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, Leopold weiß, was eine Halbgruppe ist. Ich vermute er wollte damit kritisieren, dass du die Bezeichnung "Halbgruppe" als "umgangssprachlich" bezeichnest.

Cordovan
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold:

Wollte nicht an deinem Wissen zweifeln, habe den Satz nur nicht so "interpretiert" wie Cordovan. "Also nichts für ungut." Augenzwinkern
Herbststurm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Und wozu man die ganzen Begriffe braucht, wird überhaupt nicht klar.


Aber genau darum geht es mir doch. In vielen Büchern werden ewig lang Axiome nieder geschrieben. Es ist viel eleganter die Grundstrukturen zu wissen und mit ihnen zu argumentieren, als jedes mal alle Axiome herab zu schreiben und Bücher die das so machen wie ich oben schrieb gibt es keines das ich kenne. Ich habe ausserdem überhaupt nicht vor ein Buch zu schreiben. Ich will Helfende Texte zu dem schreiben was mir im ersten Semester besonders schwer viel und kein ganzes L.A. Buch.

Die Grundstrukturen sind natürlich Standard, aber sie werden fast nie so in Beziehung gesetzt und das jemadem der das Verstanden hat klar ist das dem so sei ist logisch. Aber das weiss der kleine Erstsemester eben nicht. Darum gehts doch.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Allgemein:

Du streust locker Begriffe wie „rekursiv“, „a priori“, „Axiom“ und „Antinomie“ ein. Wer damit etwas anfangen kann, der wird kaum einen Artikel zu den Grundlagen wie Mengen, Abbildungen u. s. w. lesen. Also passt der Stil z. T. irgendwie nicht zum Artikel.

Ich finde, dass Du grundsätzlich sehr zwischen absoluten Basics und Erklärungen für Fortgeschrittene schwankst: In einem Satz erklärst Du, was eine Menge ist, im nächsten hantierst Du kommentarlos mit Symbolen wie f(A), u. s. w.

Soll der Artikel wirklich eine Einführung für Anfänger sein? Dann solltest Du vielleicht einen kurzen Abschnitt zur Mengenlehre ergänzen, in dem wirklich alle Begriffe und Symbole kurz erklärt werden. Oder aber Du verweist auf Wikipedia o. ä., wenn es Dir zu blöd ist, nochmal die ganzen Definitionen durchzugehen.


Die zweite Kritik ist, dass Du die Begriffe wie in einem Katalog runterrasselst, obwohl Du den Anspruch hast, das gerade nicht so zu machen. Es gibt keine Beispiele, keine Bilder und keine Kommentare, was der Hintergrund einer Definition ist, welchen Zweck sie hat u. s. w.

Meiner Meinung nach würde teilweise schon ein kleiner Hinweis reichen, um den Text besser lesbar zu machen. Als spontanes Beispiel „Mit dem Gruppenbegriff abstrahiert man von konkreten Verknüpfungen wie Summe, Durchschnitt u. s. w. “ Kennst Du „Lineare Algebra I“ von Jänich? Da wird das genau so gemacht, und das macht das Buch in meinen Augen eben besser als andere Einführungen.

Natürlich kann man auch erstmal alle Definitionen auflisten, und das wird ja auch in vielen Büchern so gemacht, aber dann wirst Du irgendwie Deinem Anspruch nicht gerecht.


Zu den einzelnen Abschnitten:

I Einleitung, Motivation und geschichtlicher Rückblick

Den Teil finde ich gut und schön zu lesen – ob der Inhalt OK ist, kann ich aber nicht sagen. ;-)

Eine kleine Korrektur: Bernhard Bolzano.


Begriffe der Mengenlehre

Ich finde das Beispiel sehr verwirrend, also man bekommt eher einen falschen Eindruck vom Mengenbegriff als eine wertvolle Erkenntnis. Gehört die Schale jetzt auch noch zur Menge?

Ich würde lieber abstrakte Objekte nehmen, z. B. natürliche Zahlen. Aber Du hast ja schon gesagt, dass Du das wahrscheinlich ändern wirst. :-)


Benötigter Begriff aus der Analysis: Die Abbildung

Es wird nicht klar, was eine Abbildung denn nun ist. Ich glaube, der Schlüsselbegriff ist „eindeutige Zuordnung“. Wenn man das hört, sollte man eigentlich wissen, worum es geht.


Definition Abbildung:

Der Teil ist für einen Anfänger sicher nicht zu verstehen. Du kennst die ganzen Schreibweisen und gehst locker damit um, aber ein Anfänger wird sicher von den ganzen neuen Begriffen, Symbolen u. s. w. erschlagen.

Ich persönlich finde es besser, Funktionen als Zuordnungen zu definieren und nicht als „Vorschriften“. Denn da kommt man doch mit den Begriffen durcheinander: Einerseits kann eine Funktion durch eine Zuordnungsvorschrift festgelegt werden (x --> x²), andererseits ist sie selbst eine Vorschrift?


Zu den anderen Abschnitten schreibe ich vielleicht später noch was...
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