differentialgleichungssystem

01.04.2009, 19:21	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
differentialgleichungssystem Hallo, ich habe ein Problem, bei dem ich nicht weiterkomme... Ich versuche mit Hilfe von zwei Differentialgleichungen fuer die Variablen $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ und der Zeit $\begin{eqnarray} t = [1,2,3, ... 9]\<br /> \end{eqnarray}$ die Summe der (ganzen) Zahlen von 1 bis 9 (=45) auszurechnen. Dazu stelle ich die folgenden Gleichungen auf: $\begin{eqnarray} \frac{\delta y_1}{\delta t} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\delta y_2}{\delta t} = y_1 \end{eqnarray}$ Als Anfangswerte nehme ich $\begin{eqnarray} y_1 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 = 0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich die DGLs loese (mit Matlab oder R oder aehnlichem), bekomme ich nicht, was ich will: $\begin{eqnarray} y_1(t) = [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] \end{eqnarray}$ , was natuerlich zu erwarten ist und $\begin{eqnarray} y_2(t) = [ 0, 0.5, 2, 4.5, 8, 12.5, 18, 24.5, 32, 40.5] \end{eqnarray}$ , was mir auch nicht so befremdlich erscheint, da ja die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(y_2)^2 \end{eqnarray}$ ist. Mein Ziel ist es aber, zu jedem Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ den Wert von $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ zu addieren, damit ich dann die Loesung $\begin{eqnarray} y_2(t) = [0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45] \end{eqnarray}$ bekomme. Kann mir einer einen Hinweis geben, wie ich die Differentialgleichungen aufstellen muesste? Wo liegt mein Denkfehler? Ich hoffe, ich habe mein Problem verstaendlich ausgedrueckt, Danke im Voraus Hans
02.04.2009, 15:53	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Loesung... sehr trivial: Die Summe der Zahlen von $\begin{eqnarray} 1...n \end{eqnarray}$ ist bekanntlich $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ . Die Ableitung davon ist $\begin{eqnarray} n + \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Die Differentialgleichungen muessen dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \frac{\delta y_1}{\delta t} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\delta y_2}{\delta t} = 0.5 * y_1 \end{eqnarray*}$

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