Drehung um Achse = Drehung um Punkt einer Ebene?

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Maro Auf diesen Beitrag antworten »
Drehung um Achse = Drehung um Punkt einer Ebene?
Habe aus Eigeninteresse ein bisschen mit Winkeln und Drehungen rumgerechnet und bin auf ein Problem gestoßen.. Folgendes ist nur ein Beispiel:





Der Lotfußpunkt L von P auf g ist identisch mit dem von Q auf g:
Der Winkel zwischen den Vektoren und ist 120°.

Jetzt hab ich eine Ebene in Parameterform mit senkrechten Richtungsverktoren aufgestellt, die L als Stützpunkt hat und P und Q enthält:


Damit hab ich dann P und Q als Punkte auf E in der Form dargestellt, wobei ist.
Ergebnis:


Wenn ich nun den Winkel zwischen den Vektoren und berechne, dann kommt 90° raus..


Ich begreife nicht warum da nicht der gleiche Winkel wie vorher, also zwischen P,L und Q im 3-dimensionalen rauskommt.
Q kann man ja als Punkt sehen, der entsteht wenn man P um 120° an der Drehachse g dreht. Das ist gleichzeitig eine Drehung von P um L auf der Ebene E um 120°.
Wenn ich mir nun E als rechtwinkliges 2-dimensionales Koordinatensystem mit dem Ursprung L vorstelle, dann müssen P,L und Q doch den gleichen Winkel einschließen, wenn ich die Punkte mit s-t-Koordinaten auf E angebe? Der Winkel kann sich ja nicht ändern, nur weil ich 'die Sicht drehe'.

Entweder hab ich mich verrechnet, was ich nicht glaube, oder ich habe irgendwo einen Denkfehler.. erscheint mir jedoch alles passend.
Kann hier jemand helfen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung um Achse = Drehung um Punkt einer Ebene?
Zitat:
Original von Maro
Habe aus Eigeninteresse ein bisschen mit Winkeln und Drehungen rumgerechnet und bin auf ein Problem gestoßen.. Folgendes ist nur ein Beispiel:





Der Lotfußpunkt L von P auf g ist identisch mit dem von Q auf g:
Der Winkel zwischen den Vektoren und ist 120°.

Jetzt hab ich eine Ebene in Parameterform mit senkrechten Richtungsverktoren aufgestellt, die L als Stützpunkt hat und P und Q enthält:


Damit hab ich dann P und Q als Punkte auf E in der Form dargestellt, wobei ist.
Ergebnis:


Wenn ich nun den Winkel zwischen den Vektoren und berechne, dann kommt 90° raus..


Ich begreife nicht warum da nicht der gleiche Winkel wie vorher, also zwischen P,L und Q im 3-dimensionalen rauskommt.
Q kann man ja als Punkt sehen, der entsteht wenn man P um 120° an der Drehachse g dreht. Das ist gleichzeitig eine Drehung von P um L auf der Ebene E um 120°.
Wenn ich mir nun E als rechtwinkliges 2-dimensionales Koordinatensystem mit dem Ursprung L vorstelle, dann müssen P,L und Q doch den gleichen Winkel einschließen, wenn ich die Punkte mit s-t-Koordinaten auf E angebe? Der Winkel kann sich ja nicht ändern, nur weil ich 'die Sicht drehe'.

Entweder hab ich mich verrechnet, was ich nicht glaube, oder ich habe irgendwo einen Denkfehler.. erscheint mir jedoch alles passend.
Kann hier jemand helfen?


was du da (anschließend) rechnest, ist mir vollkommen schleierhaft verwirrt

(was sind denn senkrechte richtungsvektoren?, auch wenn ich vermute zu wissen, was du meinst)

wieso sollen denn DIESELBEN punkte P und Q plötzlich völlig andere koordinaten haben, und vor allem keine z-komponente mehr verwirrt

langsam dääääämmert es smile

du kannst doch nicht einfach die parameter s und t als x- bzw. y-koordinate vergewaltigen.
du mußt zur bestimmung der koordinaten s und t in E einsetzen, dann stimmt (natürlich) alles wieder smile
Maro Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, scheint nicht klar zu sein was genau ich da gemacht habe.

Also es gibt einen Punkt Q, der durch Rotation des Punktes P um 120° um g als Drehachse entstanden ist. Beim Rotieren eines Punktes muss dieser ja 'senkrecht zur Achse' rotiert werden; Der Vektor, der die Punkte P bzw Q mit deren Lotfußpunkt auf g verbindet steht also jederzeit senkrecht auf dem Richtungsvektor der Drehachse (Gerade g). Andernfalls wäre die 'Richtung der Drehung' im Raum ja nicht genau definiert.
Da sich der Punkt der Achse, um den gedreht wird nicht ändert, also die Lotfußpunkte von P und Q auf g identisch sind, kann man das ganze als Drehung auf einer Ebene auffassen, die den Lotfußpunkt als Stützpunkt und den Richtungsvektor von g als Normalenvektor hat. Dabei wird dann der Punkt P um 120° um den Stützpunkt der Ebene gedreht, wobei sich die 'Richtung der Drehung' dann dadurch definiert, dass der Punkt P bei der Drehung nicht die Ebene verlassen darf.
Bei einer Drehung im 2-dimensionalen Koordinatensystem passiert genau dasselbe, man dreht einen Punkt um einen anderen Punkt und die Drehung ist eindeutig definiert, da nur auf der Ebene gedreht werden kann.

Zuerst liegt also eine Drehung im Raum vor, die als Drehung auf einer Ebene, welche schief im Raum liegt, gesehen werden kann.
Wenn ich nun diese Ebene in Parameterform darstelle und dabei die beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht aufeinander stelle, dann habe ich ein 2-dimesionales rechtwinkliges System, in dem jeder Punkt durch 2 Koordinaten definiert ist, nämlich durch die Faktoren vor den Richtungsvektoren, also im Beispiel s und t. Die Koordinatenachsen werden dabei durch die Richtungsvektoren definiert, die also als 'Einheitsvektoren' dieses Systems aufgefasst werden können.

Nun kann ich ja P und Q in die Ebene einsetzen und die s-t-Koordinaten auf der Ebene, also im 2-Dimensionalen System berechnen. Da der Lotfußpunkt der Stützvektor der Ebene ist, gilt dieser als Ursprung des Systems. Q ist nun also der Punkt, der durch Drehung von P um 120° am Ursprung des 2-dimensionalen Systems entsteht. Warum ergibt dann der Winkel zwischen den Vektoren vom Ursprung zu P bzw Q in s-t-Koordinaten nicht 120°, sondern 90°?
Maro Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, bin gerade selbst auf die Lösung gekommen..
Wenn ich die Ebene als 2-dimensionales rechtwinkliges Koordinatensystem sehe, dann müssen natürlich die Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen, sondern auch den gleichen Betrag haben. Sollen ja 'Einheitsvektoren' sein. Im Beispiel war der Betrag vom ersten (wurzel 2) und der vom zweiten (Wurzel 6).
Habe dann einfach den zweiten durch (Wuzel 3) geteilt, um die Vektoren gleich lang zu machen.

Also es ist jetzt:



und damit




Der Winkel, den und einschließen ist nun richtigerweise 120°.
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