Kern + Abbildung + Verknüpfungs - Aufgabe

02.04.2009, 09:48

calyton

Kern + Abbildung + Verknüpfungs - Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \text{Sei } T:\mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3 \text { definiert durch }x \rightarrow T(x) := (2x_2, -3x_1+3x_4, 2x_1+x_2-2x_4)^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2 \text{ definiert durch } S:= Op_{E3}^{E2} \text{ mit } B= \begin{pmatrix} 4 & 8 & 1 \\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2x3} \end{eqnarray*}$

a.) $\begin{eqnarray*} \text{Zeigen Sie, dass } T \text{ linear ist und bestimmen Sie } Mat^{E3}_{E4}(T) \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \text{Berechnen Sie } dim(Kern(T))\text{ und } dim(Bild(T)) \end{eqnarray*}$

c.) $\begin{eqnarray*} \text{Bestimmen Sie eine Basis von } Kern(T) \end{eqnarray*}$

d.) $\begin{eqnarray*} \text{Berechnen Sie } Mat^{E2}_{E4}(SoT) \end{eqnarray*}$

e.) $\begin{eqnarray*} \text{Berechnen Sie } (SoT)(y)\text{ für } y:= (6,3,9,2)^t \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------
Lösungvorschlag:

a.) $\begin{eqnarray*} T\begin{pmatrix} \alpha 2x_2 + \beta 2y_2 \\ -\alpha 3x_1 + \alpha 3x_4 -\beta 3y_1 + \beta 3y_4\\ \alpha 2x_1 + \alpha x_2 - \alpha 2x_4 + \beta 2y_1 + \beta y_2 - \beta 2y_4 \end{pmatrix} = \alpha T\begin{pmatrix} 2x_2 \\ -3x_1 + 3x_4 \\ \ 2x_1 + x_2 - 2x_4 \end{pmatrix} + \beta T\begin{pmatrix} 2y_2 \\ - 3y_1 + 3y_4\\ 2y_1 + y_2 - 2y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Mat^{E3}_{E4}(T)\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} dim(V) = 4 \Rightarrow dim(Bild)=3\text{ und }dim(kern)=1 \end{eqnarray*}$

c.) ehrlich keine Ahnung.... hab mir schon den Workshop von "tigerbine" angeschaut und verstehe einfach nicht, wie man den Kern "Vektor" bildet.

***********************************************
"entnommen WORKSHOP tigerbine"

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 2 &0 &4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0& 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & -2 &0 &-4 \\ 0 & 1 & 0.75 & 2 \\ 0 & 0 &1& -\frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Ker(f)=span} \{\begin{pmatrix} -4\\-4\\ \frac{8}{3}\\1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

***********************************************

Kann mir da jemand helfen?

weiter mit Lösung:

d.) $\begin{eqnarray*} Mat^{E2}_{E4}(SoT)=\begin{pmatrix} 4 (2x_1) & 8(-3x_1+3x_4) & 1(2x_1+x_2-2x_4) \\ 5 (2x_1) & 2(-3x_1+3x_4) & 7(2x_1+x_2-2x_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

e.) $\begin{eqnarray*} Mat^{E2}_{E4}(SoT)(6,3,9,2)^t=\begin{pmatrix} 48 & -96 & 11 \\ 60 & -24 & 77 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-----------------

ich freu mich auf eure Anmerkungen

02.04.2009, 16:11

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi calyton,

a) Sieht gut aus. Vielleicht etwas ausführlicher im Sinne von $\begin{eqnarray*} T(\alpha\cdot x+\beta\cdot y)=...=\alpha\cdot T(x)+\beta\cdot T(y) \end{eqnarray*}$

b) Wie kommst Du darauf? Es könnte doch auch dim(Bild(T))=1 und dim(Kern(T))=3 sein... Wie lautet denn die Definition für das Bild einer linearen Abbildung?

c) Wenn Du das vorher machst, hast Du b) ja auch schon miterschlagen (Dimensionssatz). Das was Du da aus Tigerbines Workshop übernommen hast, ist ja letztlich nur ein lineares Gleichungssystem, das zu lösen ist.
In Deinem Falle setzt Du einfach $\begin{eqnarray*} T(x)=(0,0,0)^t \end{eqnarray*}$ und erhältst dadurch drei lineare Gleichungen und vier Unbekannte. Das löst Du nun erstmal...

e) Hier soll ein Funktionswert und keine Matrix berechnet werden. Wende doch erstmal $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf den Vektor an und dann $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auf das Bild $\begin{eqnarray*} T(y) \end{eqnarray*}$

d) Die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ haben hier nicht wirklich was zu suchen. Es ist aber:
$\begin{eqnarray*} (S\circ T)(x_1,x_2,x_3,x_4)^t=\begin{pmatrix} 4 (2x_2) + 8(-3x_1+3x_4) + 1(2x_1+x_2-2x_4) \\ 5 (2x_2) + 2(-3x_1+3x_4) + 7(2x_1+x_2-2x_4) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und, dass Du weißt, wie man dann $\begin{eqnarray*} S\circ T \end{eqnarray*}$ in Matrixform bringt, hast Du ja schon bei a) bewiesen.

Gruß,
Reksilat.

06.04.2009, 19:53

calyton

Auf diesen Beitrag antworten »

So, etwas überlegt, nach deinen Ausführungen, und gerechnet und überlegt und folgendes ist raus gekommen:

a.) reicht das so also nicht oder wäre das andere nur "sauberer" ?

b.) nach umwandlung: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Die Matrix hat ja die Dimension 2, damit $\begin{eqnarray*} dim(Kern(T)) = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(Bild(T)) = 2 \end{eqnarray*}$

Wegen der Defintion eines Bildes finde ich nichts in meinem Skript....kein gutes anscheinend, kannst du mir auf die Sprünge helfen?

c.) Tigerbines Workshop hab ich jetzt verstanden. Eine Frage hab ich aber dazu noch: Also um die LH der Kerns zu finden ist klar, für LH des Bildes vorher Matrix Transponieren? (hab ich das richtig verstanden?)

Zitat:

Original von Reksilat
In Deinem Falle setzt Du einfach $\begin{eqnarray*} T(x)=(0,0,0)^t \end{eqnarray*}$ und erhältst dadurch drei lineare Gleichungen und vier Unbekannte. Das löst Du nun erstmal...

Das versteh ich nicht.....

Ich habs (vielleicht, da ich obiges nicht verstehe) auf ne andere Art gemacht und folgende Basis gefunden (nach der oben stehenden Matrix und der Wahl $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} LH(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

d.) Ich hab meine logischen Fehler entdeckt. Nun folgendes Ergebnis anzubieten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -22 & 9 & 0 & 22 \\ 8 & 17 & 0 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

e.) Da ein Funktionswert berechnet werden soll, beürchte ich, dass folgendes falsch ist, aber ich poste es mal trotzdem: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 59 \\ 97 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und, Reksilat, danke für deine bisherige Hilfe!

06.04.2009, 21:57

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend zum zweiten,

a) Du musst wissen, ob es reicht. Wenn Du mir nur das obige als Lösung hinknallen würdest, gäbe es wohl null Punkte - ich will immer noch wissen, was jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ sind, was es mit den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ auf sich hat, was überhaupt gezeigt werden muss.... Aber ich bin ja nicht Dein Übungsleiter Augenzwinkern

Zitat:

Original von calyton
b.) nach umwandlung: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Die Matrix hat ja die Dimension 2, damit $\begin{eqnarray*} dim(Kern(T)) = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(Bild(T)) = 2 \end{eqnarray*}$

Wegen der Defintion eines Bildes finde ich nichts in meinem Skript....kein gutes anscheinend, kannst du mir auf die Sprünge helfen?

Also wenn die Matrix eine Dimension hat, dann höchstens (3,4), aber nicht 2 (siehe auch hier).
Die Gleichung, die Du dort angeführt hast, ist auch unsinnig, da auf einer Seite eine 3x4-Matrix und auf der anderen eine 3x1-Matrix steht.

Unter dem Bild versteht man die Menge aller Vektoren, die als Bild eines Vektors, also als "Funktionswert" auftauchen können.
$\begin{eqnarray*} {\rm Bild}(T)=\{T(v)|v\in V\} \end{eqnarray*}$
Wenn Du eine Matrixdarstellung hast, dann kannst das Bild auch als Erzeugnis (Lineare Hülle) der Spaltenvektoren sehen.

c)
Ist das so kompliziert ausgedrückt?
Es ist $\begin{eqnarray*} T(x) = (2x_2, -3x_1+3x_4, 2x_1+x_2-2x_4)^t \end{eqnarray*}$ und das setzt man $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=}(0,0,0)^t \end{eqnarray*}$
Es entstehen die Gleichungen $\begin{eqnarray*} 2x_2=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -3x_1+3x_4=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-2x_4=0 \end{eqnarray*}$
Et voilà: Ein LGS.
Und so rechnet man im allgemeinen den Kern einer Abbildung aus.
Dein Ergebnis ist aber trotzdem richtig. smile

d) Richtig. Freude

e) Falsch. Was hast Du denn gemacht verwirrt

Was hast Du denn für $\begin{eqnarray*} T(y) \end{eqnarray*}$ raus?

Gruß,
Reksilat

06.04.2009, 23:13

calyton

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich ja die Augen schon zu hab, blind soviel heute Abend, Rest morgen früh smile

(ist ja zu meinem nachteil)

a.) hast recht, aber versuchen kann man es ja mal, folgt morgen.

b.)also hat das nichts mit der transponierten Matrix aus Tigerbines Workshop zu tun?
Das andere was du sagst, regt mich zum denken an...fortsetzung folgt (s.o.)

c.) Mann Mann, da hatte ich aber ein Brett vorm Kopf smile

d.) juhu

e.) Mist... $\begin{eqnarray*} S(T(y))=S(\begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ 13 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

07.04.2009, 15:17

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

e.) Mist... $\begin{eqnarray*} S(T(y))=S(\begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ 13 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Der dritte Eintrag ist 11.

07.04.2009, 15:29

calyton

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, denn $\begin{eqnarray*} -2 *2=-4 \text{ und nicht } -2 \end{eqnarray*}$ ...

e.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -61 \\ 83 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das der geuchte Funktionswert?

Ich dachte immer ein Funktionswert kommt aus dem \mathbb R^{1x1}

07.04.2009, 15:51

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt's. Wieso Du aber ein Ergebnis aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ erwartet hast, überrascht mich.
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bildet von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ab, also ist $\begin{eqnarray*} T(y)\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bildet von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ab, also ist $\begin{eqnarray*} S(T(y))\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht war der Begriff "Funktionswert" irreführend, denn wir behandeln hier ja lineare Abbildungen - diese sind aber letztlich auch nur gewisse Funktionen.

Du hättest übrigens auch einfach Deinen Vektor $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit der Matrix von $\begin{eqnarray*} S\circ T \end{eqnarray*}$ multiplizieren können Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

07.04.2009, 16:01

calyton

Auf diesen Beitrag antworten »

grrr

zum ersten:

Ja, hab mich irreführen lassen. ist eigentlich logisch...

zum zweiten:

s.o. smile

Neue Frage »

Antworten »

Kern + Abbildung + Verknüpfungs - Aufgabe

Verwandte Themen