Extremwert 9=x1+x2, so dass x1^3 +x2^3 möglichst klein

02.04.2009, 14:40

Vanillebaum

Extremwert 9=x1+x2, so dass x1^3 +x2^3 möglichst klein

Folgende Aufgabe war gegeben und ich bitte um Hilfestellung.

Extremwertaufgabe: 9=x1+x2
-wähle x1 und x2 so, dass die Summe aus x1^3 +x2^3 möglichst klein ist

Nun habe ich durch ausprobieren rausbekommen, dass wohl x1=4,5 und x2=4,5 die richtigen Lösungen bieten. Aber Ausprobieren kann ja nicht Sinn der Aufgabe sein.

Wie mache ich das mathematisch ansatzweise korrekt? Ich weiß da nicht wie man sowas außer durch probieren von logischen Werten, wie 1; 9; 4,5 rausbekommen soll.

02.04.2009, 14:46

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"Symmetrischen" Ansatz verfolgen: $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{9}{2}-t , \; x_2 = \frac{9}{2}+t \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} x_1^3+x_2^3 = \left( \frac{9}{2}-t \right)^3 + \left( \frac{9}{2}+t \right)^3 = \frac{729}{4} + 27t^2 \end{eqnarray*}$ .

Und wo das minimal wird, sollte leicht zu sehen sein.

02.04.2009, 14:53

Vanillebaum

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Okay, wenn das nicht mehr ist. Vielen Dank, hast mir geholfen :-)

02.04.2009, 15:50

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Zitat:

Original von Vanillebaum
Okay, wenn das nicht mehr ist.

Es ist die richtige Wahl des Ansatzes, die die Rechnung leicht macht. Augenzwinkern

Aber auch mit $\begin{eqnarray*} x_2=9-x_1 \end{eqnarray*}$ und dann Minimierung von $\begin{eqnarray*} x_1^3+(9-x_1)^3 \end{eqnarray*}$ kommt man zum Ziel.

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