Grenzwert mit Regel von L’Hospital

02.04.2009, 19:04

Hängemathe

Grenzwert mit Regel von L’Hospital

Der folgende Grenzwert soll berechnet werden unter Verwendung der oben genannten Regel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sinx\cdot lnx \end{eqnarray*}$

Nun habe ich umgeformt und zwar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{lnx}{\frac{1}{sinx} } \end{eqnarray*}$

L'Hospital darf ich doch nur anwenden, wenn ich als Grenzwert die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ erhalte, oder?

Gucke ich mir aber den Nenner $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sinx} \end{eqnarray*}$ an so erhalte ich dort doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0 } \end{eqnarray*}$ und das ist doch weder 0 noch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

Bin ich auf dem falschen Weg?

02.04.2009, 19:26

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 0 \leq \sin x \leq x \ \ \mbox{für} \ \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$ (betrachte dazu die Tangente an den Sinusgraphen im Ursprung)

Daher auch

$\begin{eqnarray*} 0 \geq \sin x \ln x \geq x \ln x \ \ \mbox{für} \ \ 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt zeige auf irgendeine dir mögliche Art und Weise: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ( x \ln x ) = 0 \end{eqnarray*}$

Zu Deiner Frage: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin x} \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \, , \ \ x >0 \end{eqnarray*}$

02.04.2009, 19:40

Hängemathe

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Ok, wie es dann weitergeht ist mir klar. Also ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} lnx= \infty \end{eqnarray*}$ ?

02.04.2009, 19:46

Leopold

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Beantworte dir diese Frage selbst. Nimm dir dazu den Graphen der $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ - Funktion oder der $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ -Funktion vor. (Die Antwort auf deine Frage ist übrigens: Nein.)

02.04.2009, 19:48

Hängemathe

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Ich habe schon ein bisschen recherchiert bevor ich gepostet habe. Wenn dem aber nicht so ist, so wäre mein Ausdruck ja weder Null durch Null noch Unendlich durch Unendlich, womit man L'Hospital nicht anwenden könnte?

Der GW des Logarithmus müsste nach dem Verlauf des Graphen ja minus unendlich sein ?!?

02.04.2009, 20:12

Leopold

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Zitat:

Original von Hängemathe
Der GW des Logarithmus müsste nach dem Verlauf des Graphen ja minus unendlich sein ?!?

So ist's. Glaube, was du siehst, und nicht, wie du es gerne hättest.

02.04.2009, 20:15

Hängemathe

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Da hast du recht. Aber darf ich dann überhaupt noch L'Hospital anwenden? Ich frage jetzt so blöd weil im Satz nur bei unendlich durch unendlich steht, aber ja aber noch plus und minus unendlich gibt ?

02.04.2009, 20:18

Leopold

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Das Vorzeichen stört nicht. Du darfst L'Hospital anwenden. Ob es aber zweckmäßig ist, steht auf einem anderen Blatt. Ich habe dir bereits einen alternativen Vorschlag gemacht.

02.04.2009, 20:43

Hängemathe

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Danke für den Vorschlag. Ich musste mich hier aber strikt an die Aufgabenstellung halten. Wenn ein Weg vorgegeben ist und man einen anderen einschlägt der zwar richtig ist gibt es dennoch Null Punkte....

02.04.2009, 20:45

Leopold

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Niemand verbietet dir, das Auto zu benutzen. Ob du aber über Oberammergau oder aber über Unterammergau, des isch net gwiß!

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