Ungleichungen richtig lösen

03.04.2009, 05:34	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen richtig lösen Gesucht ist die Lösunge der folgenden Ungleichung: $\begin{eqnarray} \frac{x+3}{x-1} \geq x \end{eqnarray}$ Nun muss ich ja die Fälle x>0 und x <0 betrachten. Woher aber kann bzw. muss ich sehen dass für x<1 $\begin{eqnarray} x+3\leq x(x-1) \end{eqnarray}$ und für x>1 $\begin{eqnarray} x+3\geq x(x-1) \end{eqnarray}$ gelten muss und ich damit meine Lösungsmenge erhalte? Woher weiß ich in welchem Fall das Gleichheits/Größer-Zeichen wie rum steht? Vielleicht habe ich einfach zu viel und zu lange gerechnet, aber ich komme einfach nicht zu einer sinnvollen Betrachtung Edit: Meine Vermutung nachdem ich mir nochmal einen klaren Kopf gemacht habe ist dass wenn x<1 ist dann wird der Nenner negativ. Multipliziere ich die rechte Seite nun mit diesem dreht sich das Vorzeichen um und ich erhalte die genannte Gleichung. Im anderen Fall ist der Nenner positiv und beim Multiplizieren ändert sich nichts
03.04.2009, 06:40	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Deine Vermutung ist genau richtig: $\begin{eqnarray} a < b \ \Longleftrightarrow\ a \cdot z < b \cdot z \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} z > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a < b \ \Longleftrightarrow\ a \cdot z > b \cdot z \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} z < 0 \end{eqnarray}$ (das Entsprechende gilt auch bei Ungleichungen mit $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ) Dass x - 1 genau dann positiv ist, wenn x > 1, kann man ja auch rechnerisch zeigen: $\begin{eqnarray} x - 1 > 0 \ \Longleftrightarrow\ x - 1 + 1 > 1 \ \Longleftrightarrow\ x > 1 \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} x - 1 < 0 \ \Longleftrightarrow\ x < 1 \end{eqnarray}$

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