Stammfunktion zu ln(x²)

03.04.2009, 17:13

Hängemathe

Stammfunktion zu ln(x²)

Wie der Titel schon sagt suche ich eine Stammfunktion zu ln(x²). Ich bin eigentlich imemr sehr gut mit dem Differenzieren und Integrieren zurechtgekommen die letzten Tage, bei dieser Aufgabe geht jedoch gar nichts.

Eine Stammfunktion zum Logarithmus ( ln(x) ) ist $\begin{eqnarray*} x \cdot ln(x) -x \end{eqnarray*}$ , da wäre dann aber noch das x². Was muss ich noch beachten um auf das richtige Ergebnis zu kommen

03.04.2009, 17:29

IfindU

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RE: Stammfunktion zu ln(x²)
$\begin{eqnarray*} \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) \end{eqnarray*}$

03.04.2009, 17:36

Hängemathe

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Danke, auf genau die gleiche Idee bin ich dann endlich auch gekommen.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln(x^2)~dx = \int_{}^{}~2 \cdot ln(x)~dx = [2xln(x)] - \int_{}^{}~\frac{1}{x} \cdot 2x~dx = 2x \cdot lnx -2x + c = x ln(x^2)-2x+c \end{eqnarray*}$

So richtig ?

03.04.2009, 17:44

IfindU

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Jop, ist ja einfach nur die Stammfunktion von ln(x) mal 2.

03.04.2009, 19:44

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Zitat:

Original von IfindU
Jop, ist ja einfach nur die Stammfunktion von ln(x) mal 2.

Nicht ganz, es gibt schon einen Unterschied zwischen beiden: Nämlich für negative (!) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Richtig ist also

$\begin{eqnarray*} \int ~ \ln(x^2) ~ \dd x = 2x \ln|x| -2x + c = x \ln(x^2)-2x+c \end{eqnarray*}$ ,

während "nur" $\begin{eqnarray*} 2x \ln(x) -2x + c \end{eqnarray*}$ für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ versagt, weil überhaupt nicht (reell) definiert!

04.04.2009, 00:09

IfindU

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Hast recht, hab mich etwas voreilig zu der Aussage verleiten lassen. Zu meiner Verteidigung, ich selbst habs mit Beträgen "durchdacht" Augenzwinkern

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Stammfunktion zu ln(x²)

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