Umkehrbarkeit - Sätze

03.04.2009, 22:01

stammfkt

Umkehrbarkeit - Sätze

Hallo,

ich habe einige Fragen:

1. Wenn eine Funktion streng monoton steigen/fallend ist, so ist sie umkehrbar.
Gilt auch die Umkehrung dieses Satzes?

Ich würde sagen ja. Richtig?

2. Wenn ich eine Funktion auf ihre Umkehrbarkeit überprüfen möchte, bilde ich ihre Ableitung und prüfe noch, ob $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ höchstens eine Lösung hat. Wenn dies der Fall ist, ist die Funktion umkehrbar. Ist dies richtig?

3. Sei f eine Funktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ihre Umkehrung. Es bedeutet doch für $\begin{eqnarray*} f(x) = f^{-1} (x) \end{eqnarray*}$ grafisch, dass beide Funktionsgraphen identisch sind und aufeinanderfallen, oder?

Wäre toll, wenn mir das jemand bestätigen könnte!
Bis dann

03.04.2009, 22:23

DOZ ZOLE

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zu 2. nur dieses zu zeigen reicht meiner meinung nach nicht. es kann auch mehrere lösungen geben ohne das es sich an diesen stellen um extrem-, wende, oder sattelstellen handelt. es ist jeweils auch das hinreichende kreterium zu beachten.

zu 3.

$\begin{eqnarray*} f(x)\neq f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=[ f^{-1}(x)]^{-1} \end{eqnarray*}$

der zusammenhang zwischen den graphen $\begin{eqnarray*} G_f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_{f^{-1}} \end{eqnarray*}$ besteht darin, das $\begin{eqnarray*} G_{f^{-1}} \end{eqnarray*}$ durch die spiegelung von $\begin{eqnarray*} G_f \end{eqnarray*}$ , an der winkelhalbierenden des ersten und dritten quadranten (gleichung $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ ) entsteht.

03.04.2009, 22:51

stammfkt

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DOZ ZOLE, dankeschön erstmal!

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
es kann auch mehrere lösungen geben ohne das es sich an diesen stellen um extrem-, wende, oder sattelstellen handelt. es ist jeweils auch das hinreichende kreterium zu beachten.

Wirklich, könntest du mir hierzu vielleicht ein Beispiel zeigen? Das kann ich mir ja gar nicht vorstellen!

zu 3. Wenn jedoch der Funktionsterm der Ausgangsfunktion identisch mit dem Funktionsterm der Umkehrfunktion ist, dann fallen doch die Graphen beider Funktionen aufeinander, oder?

03.04.2009, 22:58

tigerbine

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RE: Umkehrbarkeit - Sätze

Zitat:

Original von stammfkt
2. Wenn ich eine Funktion auf ihre Umkehrbarkeit überprüfen möchte, bilde ich ihre Ableitung und prüfe noch, ob $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ höchstens eine Lösung hat. Wenn dies der Fall ist, ist die Funktion umkehrbar. Ist dies richtig?

Eine umkehrbare Funktion muss doch nicht differenzierbar sein. Wichtig ist doch nur, dass sie bijektiv ist. (Umkehrfunktion)

Aller dings kann man bei den Funktionstypen die ihr wohl in der Schule behandelt ggf. so vorgehen.

03.04.2009, 23:03

DOZ ZOLE

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Zitat:

Original von stammfkt
DOZ ZOLE, dankeschön erstmal!

Zitat:

Wirklich, könntest du mir hierzu vielleicht ein Beispiel zeigen? Das kann ich mir ja gar nicht vorstellen!

sowas kommt zum beispiel bei ganzrationalen funktionen höheren grades vor.

Zitat:

Original von stammfkt
zu 3. Wenn jedoch der Funktionsterm der Ausgangsfunktion identisch mit dem Funktionsterm der Umkehrfunktion ist, dann fallen doch die Graphen beider Funktionen aufeinander, oder?

ja wenn zwei funktionsterme gleich sind dann liegen die graphen übereinander. aller dings ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ keine umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} f=f^{-1} \end{eqnarray*}$

denn:
$\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f^{-1}:B\rightarrow A \end{eqnarray*}$

die umkehrfunktion der umkehrfunktion ist gleich der ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f=(f^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

dies ist bei $\begin{eqnarray*} f=f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht gegeben

04.04.2009, 05:52

Jacques

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RE: Umkehrbarkeit - Sätze

Zitat:

Original von stammfkt

1. Wenn eine Funktion streng monoton steigen/fallend ist, so ist sie umkehrbar.
Gilt auch die Umkehrung dieses Satzes?

Ich würde sagen ja. Richtig?

Nein, nicht allgemein. Bei einer stetigen Funktion mit z. B. dem Definitionsbereich R ja, bei nur punktweise definierten oder unstetigen Funktionen nicht unbedingt:

[attach]10244[/attach]

[attach]10245[/attach]

Die Funktionen sind umkehrbar – wenn man als Zielmenge die Wertemenge wählt –, aber nicht monoton steigend oder fallend.

Zitat:

Original von stammfkt

2. Wenn ich eine Funktion auf ihre Umkehrbarkeit überprüfen möchte, bilde ich ihre Ableitung und prüfe noch, ob $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ höchstens eine Lösung hat. Wenn dies der Fall ist, ist die Funktion umkehrbar. Ist dies richtig?

Auf keinen Fall. Wie DOZ ZOLE ja schon gesagt hat.

Z. B. hat bei f: x --> x² die Gleichung f'(x) = 0 genau eine Lösung, aber die Funktion ist ja nicht umkehrbar. Also das {x | f'(x) = 0} nur eine Lösung hat, ist auf keinen Fall ein hinreichendes Kriterium.

Es ist auch kein notwendiges Kriterium, denn eine Funktion mit mehreren Sattelpunkten kann doch sehr wohl streng monoton steigen oder fallen.

Das ist auf jeden Fall ein viel zu einfaches „Rezept“. Ein funktionierendes (hinreichendes) Kriterium ist es, dass die zweite Ableitung auf dem gesamten Definitionsbereich positiv ist oder überall negativ. Dann ist die Funktion ja streng monoton steigend bzw. fallend und also injektiv.

Zitat:

Original von stammfkt

3. Sei f eine Funktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ihre Umkehrung. Es bedeutet doch für $\begin{eqnarray*} f(x) = f^{-1} (x) \end{eqnarray*}$ grafisch, dass beide Funktionsgraphen identisch sind und aufeinanderfallen, oder?

Richtig. Dass die Funktion mit der Umkehrfunktion identisch ist, gilt für alle Funktionen, deren Graph spiegelsymmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden ist (bei gleicher Skala für x- und y-Achse).

Z. B.:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \mapsto -x + 1 \end{eqnarray*}$

oder auch einfach

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \mapsto x \end{eqnarray*}$

An DOZ ZOLE

Zitat:

Original von DOZ ZOLE

ja wenn zwei funktionsterme gleich sind dann liegen die graphen übereinander. aller dings ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ keine umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} f=f^{-1} \end{eqnarray*}$

Das ist definitiv falsch! Siehe obiges Beispiel.

Auch die Begründung stimmt dann natürlich nicht:

Zitat:

Original von DOZ ZOLE

die umkehrfunktion der umkehrfunktion ist gleich der ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f=(f^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

dies ist bei $\begin{eqnarray*} f=f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht gegeben

Das ist gerade dann gegeben:

Wenn

$\begin{eqnarray*} f^{-1} = f \end{eqnarray*}$

gilt, dann folgt daraus doch

$\begin{eqnarray*} \left( f^{-1} \right) ^{-1} = (f)^{-1} = f \end{eqnarray*}$

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