Geometrische Summe

04.04.2009, 12:13

Hängemathe

Geometrische Summe

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist mir die geometrische Summe gegeben.

Nun weiß ich, dass bei der geometrischen Summe für $\begin{eqnarray*} x \neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \sum_{k=0}^n x^k \end{eqnarray*}$

Aber

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-1}{x-1} \neq \frac{1-x^{n}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn nun die geometrische Summe verwenden? verwirrt

04.04.2009, 12:28

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RE: Geometrische Summe

Zitat:

Original von Hängemathe
Aber

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-1}{x-1} \neq \frac{1-x^{n}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl das Relationszeichen verwechselt: Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-1}{x-1} = \frac{1-x^{n}}{1-x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

04.04.2009, 12:29

mYthos

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RE: Geometrische Summe

Zitat:

Original von Hängemathe
...
Aber

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-1}{x-1} \neq \frac{1-x^{n}}{1-x} \end{eqnarray*}$
...

Wer sagt das?

-------------------

Übrigens: Die Division ist möglich! (Binomischer Satz)

mY+

04.04.2009, 12:30

BErnhArd_P

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du musst also nur den limes bilden?

Betrachte dazu die drei Fälle:

$\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

den Fall x=0 hast du schon richtig behandelt (nicht definiert)

was passiert nun bei den anderen beiden Fällen mit dem Bruch?

MfG

04.04.2009, 12:46

Hängemathe

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RE: Geometrische Summe

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Hängemathe
Aber

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-1}{x-1} \neq \frac{1-x^{n}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl das Relationszeichen verwechselt: Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-1}{x-1} = \frac{1-x^{n}}{1-x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ok,

das war ein Fehler von mir. Ich bin gerade recht frustriert weil das ja in der Tat stimmt, ich es aber nicht sofort sehe. traurig

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \sum_{k=0}^{n-1} x^k = \sum_{k=0}^{n-1} \lim_{x \to 1}x^k \end{eqnarray*}$

Nun strebt x gegen 1. Was ist dann aber der Grenzwert der Summe? n-1 ?

04.04.2009, 13:44

BErnhArd_P

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warum strebt x gegen 1?

04.04.2009, 14:00

Hängemathe

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Ist doch so in der Aufgabenstellung vorgegeben?

04.04.2009, 14:32

mYthos

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Sicher. Setze doch mal in der Summe

$\begin{eqnarray*} s_n(x) = x^{n-1}+x^{n-2}+ ... + x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

für x = 1. Wieviele Summanden sind es denn? n ist ein fester Wert.

mY+

04.04.2009, 14:37

Hängemathe

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Es müssten n Summanden sein und nicht (n-1), weil ich nicht beachtet habe dass $\begin{eqnarray*} 1^0=1 \end{eqnarray*}$ auch ein Summand ist ?

Also ist der Grenzwert n.

04.04.2009, 14:40

mYthos

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mY+

04.04.2009, 14:47

Hängemathe

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Ärgerlich das ich sowas nicht sofort sehe. Ich habe sch vor deinem Posting die Summe unter die Lupe genommen und kam immer auf n-1... unglücklich

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Geometrische Summe

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