Globale Extrema finden

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04.04.2009, 19:40	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Globale Extrema finden Wie ich Extrema von Funktionen finde und feststellen kann ob dies lokale Minima oder Maxima sind weiß ich. Dazu gibt es in meinem Skript noch einen lumpigen Satz zu globalen Extrema, der mir aber gar nichts sagt. Vom Limes o.ä. ist darin gar nicht die Rede. Ich habe mir jetzt 5 Aufgaben angeguckt in denen für Funktionen überprüft werden sollte ob die vorhandenen Extrema auch global sind. Dabei wird immer der Limes verwendet. Google hat mir auch nicht weitergeholfen, die allgemeine Definition von globalen Extremwerten leider auch nicht. Bsp: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{3}{2} x^2-4x-\frac{4}{x+1} \end{eqnarray}$ Ableitungen: $\begin{eqnarray} f'(x)=3x-4+\frac{4}{(x+1)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=3-\frac{8}{(x+1)^3} \end{eqnarray}$ Nullstellen von f': $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-\frac{5}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=1 \end{eqnarray}$ Schnell noch die Funktionswerte der 2. Ableitungen für die Stellen errechnet und schon weiß ich welche der Extremstellen lokale Maxima und Minima sind. Soweit alles klar. Nun (und dazu habe ich nichts brauchbares in meinem Skript) wird der links- und rechtsseitige Grenzwert von f(x) gebildet - wobei x gegen -1 strebt -und dieser ist $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . Damit wird dann argumentiert das es keine globalen Extremstellen gibt. 1. Kann mir jemand das allgemeingültig, vielleicht in Worten kurz erläutern? 2. Wieso strebt x gegen -1 (oder alternativ gegen unendlich, wie als Hinweis angefügt ist?) Ich hoffe ich habe euch keine Infos vorenthalten. Da ich die Zeichen für die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte für Latex nicht kenne musste ich das umschreiben :-/
04.04.2009, 19:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn x gegen -1 geht links/rechtsseitig gegen minus/plus unendlich geht, kann kein anderer Wert größer sein. Also kann vorallem kein lokales Extremum mit einem endlichen Funktionswert größer/kleiner sein als das.
04.04.2009, 20:13	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Extrema finden Aber wieso lässt man x gerade gegen -1 streben? Ist der allgemeine Ansatz für die Globalität folgender? Ich bilde den links-rechsseitigen Grenzwert für die Funktion , x strebt dabei gegen einen bestimmten Wert. Ist der Grenzwert kein konkreter Wert (also unendlich), dann gibt es kein globales Min oder Max. Was passiert aber wenn dort ein konkreter Wert rauskommt? Muss das dann ein vorhandener Extremwert sein?
04.04.2009, 20:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Extrema finden Du hast im Nenner x+1, wenn x gegen Minus 1 geht, geht der Bruch gegen Unendlich (im Regelfall), deswegen solltest du dort den Umgebung untersuchen, was da passiert. Und hier geht es gegen plus/minus Unendlich, also überragt das alle endlichen Werte. Ohne diese Nennersache: Du hast ein Maximum bei (1\|2) z.b. und die rechte waagreche Asymptote lautet 0,5. Wenn dazwischen keine Polstelle oder weitere Extrema liegen, und es links ebenfalls so ist, weißt du dass das Maximum global maximal ist.
04.04.2009, 21:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
globale Extremwerte Eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ hat an einer Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ein "globales" Maximum (bzw. Minimum), wenn $\begin{eqnarray} f(x_0) \geq f(x) \forall x \end{eqnarray}$ (bzw. wenn $\begin{eqnarray} f(x_0) \leq f(x) \forall x \end{eqnarray}$ ). Die 1. Ableitung muss in einem globalen Extremwert nicht 0 sein, deshalb bekommt man durch $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ nur "lokale" Extremwerte heraus. Mögliche globale Extremwerte können immer an den Rändern des Definitionsbereichs liegen. Bei nicht differenzierbaren oder gar unstetigen Funktionen hilft die 1. Ableitung auch nichts, weil sie nicht überall existiert.
05.04.2009, 12:54	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Extrema finden Anderes Beispiel: Wo ist die Funktion $\begin{eqnarray} f:]0,\infty[\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{lnx}{x} \end{eqnarray}$ monoton wachsend und wo ist sie monoton fallend? Ermitteln Sie alle lokalen und globalen Extrema der Funktion. Klassifizieren Sie diese (lokal/global , max/min). Zuest habe ich die 1. Ableitung bestimmt: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1-lnx}{x^2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} f'(x)> 0 \Leftrightarrow x \in ]0,e[ \end{eqnarray}$ <-- f steigt streng monoton $\begin{eqnarray} f'(x)< 0 \Leftrightarrow x \in ]e,\infty[ \end{eqnarray}$ <-- f fällt streng monoton $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \Leftrightarrow x=e \end{eqnarray}$ <-- lokales Maximum von f 1.Nun bleibt noch herauszufinden, ob mein lokales Maximum auch ein globales Maximum ist. Lasse ich dafür x gegen Null streben, weil f(x) immer größer werden sollte wenn der Nenner immer kleiner wird? 2. Erhalte ich einen Grenzwert von unendlich oder null, dann ist mein lokales Maximum auch globales. Erhalte ich einen größeren Zahlenwert, liegt das globale Maximum woanders (?).
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05.04.2009, 13:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Globale Extrema Das ist doch ein leicht zu durchschauendes Beispiel. Die erste Ableitung gibt das lokale Maximum $\begin{eqnarray} \frac {ln(e)}{e} = \frac {1}{e} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ . Dies ist das globale Maximum, weil alle anderen Funktionswerte kleiner sind. Das weißt du doch schon, weil du berechnet hast, daß die Funktion links davon streng monoton steigt und rechts davon streng monoton fällt. Für $\begin{eqnarray} x \rightarrow 0_+ \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(x) \rightarrow -\infty \end{eqnarray}$ , also hat die Funktion kein Minimum. Weder ein lokales Minimum (das hätte ja die Ableitung 0) noch ein globales Minimum m (alle anderen Funktionswerte müssten ja größer sein als m). Für $\begin{eqnarray} x \rightarrow +\infty \end{eqnarray}$ passiert auch nichts weiter, dort gilt $\begin{eqnarray} f(x) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ , da der Wert 0 aber nicht angenommen wird, ist er kein (lokales) Minimum.
05.04.2009, 14:09	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich hätte vielleicht keine Aufgabe nehmen sollen wo noch das Monotonie-Verhalten zu überprüfen ist. Wie die Funktion geplottet aussieht weiß ich in der Klausur ja auch nicht. Mir ist echt immer noch nicht klar wonach ich mich dann richte (x strebt gegen was) um festzustellen ob entsprechende Extremstellen auch global sind. Oder nehme ich hier einfach 0 und unendlich, weil dies die Ränder des Definitionsbereiches sind ?
05.04.2009, 14:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte Ja, in diesem Beispiel nehmen wir 0 und unendlich, weil das die Ränder des Definitionsbereiches sind. Zur Kurvendiskussion gehört immer, daß man sich mit dem gesamten Verlauf der Funktion beschäftigt. Das fängt an mit dem Definitionsbereich; dafür ist immer wichtig, daß man nicht durch 0 dividieren darf (z.B. ist f(x)=u(x)/v(x) für v(x)=0 nicht definiert, z.B. Logarithmen nur für x>0). Dann setzt man f(x)=0, um die Nullstellen zu berechnen. Dann setzt man f'(x)=0, falls die Funktion differenzierbar ist, um die lokalen Extremwerte zu berechnen. Dann setzt man f''(x)=0, falls auch die erste Ableitung differenzierbar ist, um die Wendepunkte zu berechnen. Nochmal aufpassen: Nullstellen, Extremstellen, Wendepunktstellen müssen im Definitionsbereich der Funktion liegen. Um das Verhalten der Funktion zu bestimmen, lässt man dann noch x jeweils von links und/oder rechts gegen die Ränder des Definitionsbereichs streben, d.h. man berechnet $\begin{eqnarray} \lim f(x) , x \rightarrow +r, -r , +\infty, -\infty \end{eqnarray}$ (je nachdem wo die Ränder des Definitionsbereichs sind).
05.04.2009, 14:45	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank. Ich mit mathematisch betrachtet ein schwieriger Patient :-) Ich rechne jetzt noch ein paar Aufgaben dazu, mal gucken ob es klappt. Bis zur Feststellung der "Globalität" ist auch alles kein Problem.
05.04.2009, 15:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion @Hängemathe, ich finde du bist auf dem richtigen Weg. Du übst die notwendige mathematische Technik, ohne die geht nix. Und wenn du genügend Beispiele gerechnet hast, wirst du (fast von selbst) verstehen, worauf es ankommt.
05.04.2009, 19:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion Hallo, deine vorletzte Bemerkung hat mir sehr zu denken gegeben , und vielleicht habe ich einen wichtigen Hinweis für dich , den dein Mathematiklehrer bisher unterschlagen hat . Du hast immer einen "Plotter" dabei, und der ist auch notwendig . Der "Plotter" besteht aus einem karierten Blatt DIN A4 Papier, einem Lineal und einem Bleistift. Zeichne ein Achsenkreuz (x-Achse waagerecht, y-Achse senkrecht, Schnittpunkt heißt O=(0,0)). Im Beispiel $\begin{eqnarray} f(x) = \frac {ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ ist der Nenner immer positiv (für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ), also das Vorzeichen der Funktion nur vom Zähler abhängig, d.h. $\begin{eqnarray} x<1 \Rightarrow f(x)<0, x=1 \Rightarrow f(x)=0, x>1 \Rightarrow f(x)>0 \end{eqnarray}$ . Den einzigen Nullpunkt (1,0) kannst du schon mal einzeichnen. Für kleinere x ist f(x) negativ, für größere x ist f(x) positiv ! Durch Differenzieren und Nullsetzen $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2}=0 \end{eqnarray}$ berechnest du das einzige lokale Maximum $\begin{eqnarray} (e,\frac{1}{e}) \end{eqnarray}$ , auch diesen Punkt zeichnest du ein. f(x) muß nun für alle x>1 zwischen 0 und 1/e liegen. Die Funktion ist überall differenzierbar, also glatt und insbesondere stetig. Mit diesen wenigen Informationen kannst du die Kurve einzeichnen, und sie kann sich nicht wesentlich von dem unterscheiden, was ein Computer-Plotter zeigt (außer, wenn der Computer Fehler macht ). Und jetzt sollte dein Problem gelöst sein, denn an einer solchen Skizze kannst du immer erkennen, ob deine lokalen Extremwerte global sind oder nicht, und du erkennst auch, ob es andere globale Extremwerte gibt. So haben wir das immer gemacht, bevor wir die Computer erfunden haben. Ich habe keine Ahnung, wie man das ohne Skizze hinkriegen soll. Noch ein Tip: Wenn man überhaupt nicht weiß, wie die Funktion aussieht, fängt man mit einer Wertetabelle an, d.h. man berechnet Funktionswerte z.B. für x=0,+1,-1,+2,-2 und zeichnet die Punkte ein.

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