dehnungsbeschränkte / kontrahierende Funktionen |
| 04.04.2009, 20:04 | zeta21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dehnungsbeschränkte / kontrahierende Funktionen
habt ihr vielleicht ideen, inwiefern es möglich ist, nur über die definition von dehnungsbeschränkt und kontrahierend, also Eine Funktion heißt dehnungsbeschränkt, wenn f: X -> IR (X Teilmenge von IR) |f(x)-f(y)| <= q|x-y| (q>=0) gilt. Gilt 0<= q < 1 heißt die Funktion kontrahierend. einfache funktionen zu finden, die das erfüllen? Mir persönlich ist schon klar, dass beispielsweise alle polynome dehnungsbeschränkt sind. ich muss einen vortrag halten und würde das finden solcher funktionen über die definition, OHNE vorherige beispiele, gerne einbauen, die zuhörer erfahren jedoch in diesem erst von dehnungsbeschränkten/kontrahierenden funktionen. aber ich würde eben das gerne mit den zuhörern zusammen erarbeiten.... Dazu habe ich mir schon überlegt, dass man die definition anschaulicher macht, indem man sagt, dass der Abstand zweier Bilder kleiner gleich dem q-fachen Abstand der zugehörigen Urbilder sein soll. aber auch so ist es doch schwierig, sich als zuhörer eine funktion aus zu denken, die das erfüllt. habt ihr da andere bessere und weitere ideen, wie man impulse zusätzlich zu der definition geben kann, sodass klarer wird, welche funktionen dehnungsbeshränkt oder kontrahierend sind und welche nicht. die zuhörer sollen so auf konkrete beispiele kommen können... liebe grüße zeta 
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| 04.04.2009, 20:38 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: dehnungsbeschränkte / kontrahierende Funktionen
Das solltest du mal genauer abchecken, ob das wirklich korrekt ist. Grüße Abakus
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| 04.04.2009, 23:00 | zeta21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo
meine mathematischen fähigkeiten reichen leider nicht aus, um das zu prüfen 
aber ich habe in einem einschlägigen Buch "Lehrbuch der Analysis Teil 1" (mehr schreibe ich mal nicht wg werbung...) gefunden, dass "jedes polynom auf jedem intervall [a,b] dehnungsbeschränkt ist [...]" insofern hast du schon recht, denn es reicht in diesem falle nicht, dass der definitionsbereich nur eine beliebeige teilmenge von IR ist, es muss ein abgeschlossenes intervall sein.... liebe grüße |
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| 06.04.2009, 18:24 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf einem kompaktem Intervall stimmt es, aber das ist dann eine andere Situation, ja. Wenn du einen Vortrag darüber halten willst, sollte da aus meiner Sicht schon mehr rein. Wie sieht zB der Zusammenhang von "dehnungsbeschränkt" zu stetig, glm. stetig, oder differenzierbar aus ? Darüber kannst du dann auch entsprechende Beispiele finden und es vielleicht besser einordnen. Grüße Abakus
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| 07.04.2009, 00:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dehnungsbeschränkte Funktionen nennt man oftmals auch eher Lipschitz-stetig. Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre Ableitung beschränkt ist. |
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| 08.04.2009, 16:14 | zeta21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für die hinweise und tipps
ich habe mir gedacht, dass man dehnungsbeschränkt veranschaulichen kann. Man könnte beispielsweise eine dehungsbeschränkte funktion angeben, den graphen zeichnen und wie dehnungsbeschränktheit wie folgt prüfen: lassen sich zu jedem punkt eines funktionsgraphen zwei sich in diesem punkt schneidende geraden konstruieren, sodass die steigung der geraden durch ein festes q bzw -q festgelegt ist und der graph der funktion in y-Richtung zwischen den beiden geraden liegt, dann ist die zugehörige funktion dehnungsbeschränkt. das wäre meine idee zu einer anschaulichen umsetzung. ist etwas umständlich erklärt.... dass dehnungsbeschränkte funktionen stetig sind, ist ein aspekt, den ich zwar gelesen habe, den ich jedoch auch noch in den vortrag einbauen sollte! habt ihr dazu vorschläge, wie dies sinnvoll erarbeitet werden kann? liebe grüße
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| 09.04.2009, 11:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein anschauliches Kriterium ist durchaus richtig, man sollte natürlich beachten, dass es für jeden Punkt das gleiche sein muss. Ansonsten könnte man auch folgendes Kriterium nutzen: Eine Funktion ist dehnungsbeschränkt genau dann, wenn die Sekantensteigung über alle möglichen Sekanten beschränkt ist. Was genau meinst du dann noch mit dem Erarbeiten der Stetigkeit? Willst du einen Beweis dafür? |
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| 09.04.2009, 15:48 | zeta21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das mit dem gleichen q weiß ich... aber es war eben schwer zu erklären. wegen der stetigkeit: einen beweis dehungsbeschränkte fkt sind stetig, kenne ich schon. aber inwiefern hängt es anschaulich zusammen, also so, dass ich es anhand eines funktionsgraphen exemplarisch erklären kann? dankeschön
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| 09.04.2009, 16:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So sehr anschaulich kann man das wahrscheinlich nicht erklären, ohne dann doch den Beweis selbst zu erläutern, aber mal ein Versuch: Nimm dir einen Punkt des Graphen und zeichne von diesem Punkt die beiden Geraden der Steigung und ein. Wenn du jetzt eine Folge von Urbildpunkten hast, die gegen konvergiert, dann müssen die Funktionswerte der Glieder gegen den Funktionswert konvergieren, weil die zugehörigen Punkte durch die beiden eingrenzenden Geraden "dahingezwungen" werden. |
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| 09.04.2009, 18:24 | zeta21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schön! da steckt ja das folgenkriterium drin, das die zuhörer eigentlich kennen sollten... insofern würde ja fast deine anschauliche lösung genügen 
danke sehr! |
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