Laplace-Transformierte von t^n über vollständige Induktion beweisen

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05.06.2004, 13:53	wami	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Transformierte von t^n über vollständige Induktion beweisen Hallo Leute, habe da ein Großes Problem, bei dem ich nicht wirklich weiter weiß. Ich soll den Beweis erbringen für LAPLACE (t^n) = n!/(s^(n+1)) wobei der Beweis über den Satz der vollständigen Induktion erbracht werden soll. Ich weiss einfach nicht wie ich auf das n! komme wenn ich die Laplace Transformation nach der Formel Integral(0 bis unendlich) von t^ne^(-st) d t =n!/(s^(n+1)) durchführe für den Beweis des Induktionsanfanges. Beim Beweis für den Induktionsschluss (n=n+1) hänge ich dann vollkommen. Danke für Eure Hilfe im voraus!
05.06.2004, 14:02	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Den Induktionsanfang schaffst du aber schon, oder nicht? Tipp für den Induktionsschritt: Partielle Integration, die aus dem t^(n+1) wieder ein t^n macht, so dass du dann die Annahme verwenden kannst. Anmerkung: Ein anderer, schöner Beweis dürfte sich mit der Gammafunktion machen lassen (Substitution s*t=u).
05.06.2004, 14:17	wami	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja beim Induktionanfang habe ich ein kleines Problem. Ich habe versucht das ganue über Partielle Integration zu lösen. Aber ich weiss einfach nicht weiter. Ich habe das Ganze als Unbestimmtes Integral angesetzt und versucht zu lösen. Aber wenn ich die Grenzwerte (0 bis unendlich) für das uneigentliche Integral ansetzte komme ich nicht weiter. Die Funktion konvergiert komplett gegen unendlich und ich kann kein n! erkennen.
05.06.2004, 14:20	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Induktionsanfang musst du $\begin{align} \int_0^{\infty}t\exp(-s\cdot t)dt=\frac{1!}{s^{1+1}}=\frac{1}{s^2} \end{align}$ zeigen, das ist dir klar, ja? Das machst du mit partieller Integration, wobei s>0 vorausgesetzt werden muss, da das Integral sonst nicht existiert. Zeig' uns doch bitte mal deine Rechnung, dann sehen wir ja, woran es scheitert.
05.06.2004, 14:44	wami	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, die Rechnung habe ich gerade durchgeführt. Ist okay, alles verstenaden. Aber wie gehe ich vor, wenn ich jetzt für n jetzt n+1 für den Induktionsschluss einsetzen muss? Setzte ich dann einfach 2 ein? Nicht wirklich oder? Dann ist doch noch lange nichts bewiesen. Für 3 kann es dann ja schon wieder anders sein.
05.06.2004, 14:47	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst das Integral für n+1 hin und machst dann partielle Integration. Dadurch erscheint das Integral für n, für welches du nach der Induktionsannahme die Formel für n einsetzen kannst und dann erscheint nach einfacher Umformung die Formel für n+1. Schau dir nochmal ein einfaches Beispiel für vollständige Induktion an, mir scheint, als würdest du dich nicht an die Methode erinnern.
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05.06.2004, 14:49	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben hier einen Workshop für vollständige Induktion. Gruß vom Ben
05.06.2004, 15:10	wami	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich werd mir das nochmal genau ansehen und es dann erneut versuchen!
05.06.2004, 17:23	wami	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe wirklich alles versucht. Ich komme einfach nicht drauf. Ich habe das Integral für n+1 in der Form Integral 0 bis unendlich von t^(n+1)e^-(st) dt = ((n+1)!)/(s^(n+2) ich weiss einfach nicht weiter. Die Fuaktultät (n+1)! macht mir Probleme. Kann nicht jemand von euch vielleicht ein paar schritte aufschreibsln, sodass ich weiterfinde... Danke!
05.06.2004, 18:07	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dich denn jetzt wieder mit der vollständiger Induktion vertraut gemacht? Deine Annahme lautet: $\begin{align} \int_0^{\infty}t^n\exp(-s\cdot t)dt=\frac{n!}{s^{n+1}} \end{align}$ Daran hast du nichts zu beweisen, das ist klar, ja? Auf Basis dieser Vermutung möchten wir jetzt $\begin{align} \int_0^{\infty}t^{n+1}\exp(-s\cdot t)dt=\frac{(n+1)!}{s^{n+2} \end{align}$ zeigen, das ist der Schritt von n auf n+1. Dazu müssen wir jetzt irgendwie bei dem Integral für n+1 das Integral für n erscheinen lassen, so dass wir dann überhaupt erst unsere Vermutung einsetzen können. Und das geht sehr einfach mit partieller Integration. $\begin{align} \int_0^{\infty}t^{n+1}\exp(-s\cdot t)dt=[t^{n+1}\exp(-s\cdot t)/(-s)]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}(n+1)t^n\exp(-s\cdot t)/(-s)dt \end{align}$ $\begin{align} =[t^{n+1}\exp(-s\cdot t)/(-s)]_0^{\infty}+\frac{n+1}{s}\int_0^{\infty}t^n\exp(-s\cdot t)dt \end{align}$ Hier hast du jetzt gerade unser Integral für n, für das du nach der Vermutung n!/s^(n+1) einsetzen kann, und wenn du die Grenzwerte auswertest, wirst du feststellen, dass sie 0 sind, so dass gerade $\begin{align} \frac{n+1}{s}\frac{n!}{s^{n+1}} \end{align}$ stehen bleibt, das ist (n+1)!/s^(n+2) und damit ist alles gezeigt. Jetzt klar?
05.06.2004, 19:29	wami	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, habs endlich rausbekommen. Vielen, Vielen, Dank für eure Hilfe, super 8) Grüße wami

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