Poisson - Vertelung, Maximum-Likelihood-Methode

05.04.2009, 13:40

shok

Poisson - Vertelung, Maximum-Likelihood-Methode

Hallo,
folgendes Problem. Ich soll zeigen, dass bei der Maximum-Likelihood-Schätzung für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das arithmetische mittel rauskommt.
Nun kenn ich die Poissonverteilung folgendermaßen.

$\begin{eqnarray*} (\frac{\lambda ^{k}}{k!})* e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Das Problem hierbei ist aber nun, dass ich in der Formel kein X habe, mit dem ich
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abschätzen kann.

Nun habe ich im Internet folgenden Formel gefunden.

$\begin{eqnarray*} (\frac{\lambda ^{x}}{x!})* e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Stimmt die? Kann mir einer sagen, warum sie stimmt?

Danke
mfg

05.04.2009, 15:37

Mazze

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Zitat:

Das Problem hierbei ist aber nun, dass ich in der Formel kein X habe, mit dem ich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abschätzen kann.

Ob man die Daten nun k oder x nennt ist doch Banane. Für natürliche, poissonverteilte Zufallsvariablen gilt :

$\begin{eqnarray*} P(X = k) = \left(\frac{\lambda ^{k}}{k!}\right)* e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Wenn Deine Daten also natürliche Zahlen sind geht das ohne Probleme. In diesem Fall hast Du dann

$\begin{eqnarray*} P(x_i | \lambda) = \left(\frac{\lambda ^{x_i}}{x_i!}\right)* e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Falls deine Daten nicht natürlich sind macht das Ganze wegen der Fakultät im Nenner übrigens keinen Sinn mehr.

17.04.2009, 17:43

hxh

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Denke die Lösung is bekannt aber falls jemand das mal suchen sollte.

$\begin{eqnarray*} L(\lambda )=\frac{\lambda ^{\sum xi}}{\prod x!} *e^{-n*\lambda } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(L(\lambda ))= ln(\lambda )*\sum x_i -ln(\prod x!) -n*\lambda \end{eqnarray*}$

Ableiten nach Lambda und Null setzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum x_i}{\lambda} - n = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{n} \sum x_i \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 10:39

MatheAss-Not

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Danke!
Danke an hxh, ich habe genau nach dieser Lösung gesucht - und prompt gefunden. Super, dass Du die nochmal reingeschrieben hast! Freude

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