Wahr oder Falsch?

05.04.2009, 15:54

MyYoo990

Wahr oder Falsch?

Hi, wir müssen folgende Aussage auf ihre Richtigkeit überprüfen:

Zu 1)
Hier habe ich Richtig gesagt, da es doch bei linearen Abbildung egal ist, ob man sie zuerst abbildet und dann "orthogonal macht" oder andersherum

Zu 2)
Das ist wahr, habe es an einem Beispiel getestet

Zu 3)
Hier habe ich ebenfalls Richtig gesagt, liege ich damit richtig, dass wenn ich eine ONB habe, alles Vektoren orthogonal zu den ONB-Vektoren sind?

Zu 4)
Anmerkung: O(n) bezeichnet die orthogonale Gruppe mit $\begin{eqnarray*} A^{-1}=A^T \end{eqnarray*}$ , dass ist glaube ich falsch, aber ich kann das nicht so gut begründen ;s

Sind meine Ideen mehr oder weniger richtig?

05.04.2009, 17:25

C-3PO

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Hi,
also zu 3, sollte w- ... nicht der Anteil von w sein der gerade parallel zu v3 ist. Die einzelnen Vektoren einer ONB-Basis sind orthogonal zueinander und normiert. Das Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einem Vektor der ONB-Basis sollte der Anteil in diese Richtung sein. Bei 4, eine orthogonale Gruppe ist ja längenerhaltend, wenn das richtig wäre ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ Eigenwert, was nicht sein kann.

05.04.2009, 17:40

MyYoo990

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Also um nochmal sicher zu gehen dich richtig verstanden zu haben ist Nr. 3 falsch, ja?

06.04.2009, 12:56

Mazze

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Fangen wir mal an. Aussage eins stimmt, aber Deine Begründung ist falsch. Nehme Dir zum Beispiel die orthogonale Projektion $\begin{eqnarray*} P_W \end{eqnarray*}$ her, diese ist linear und es gilt

$\begin{eqnarray*} Ker (P_W) = W^\perp \end{eqnarray*}$

Damit erhält man

$\begin{eqnarray*} P_W(W^\perp) = \{0\} \end{eqnarray*}$

andererseits ist

$\begin{eqnarray*} P_W(W)^\perp = W^\perp \neq \{0\}~\text{ falls } W \neq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Aussage 1 stimmt weil f ausserdem orthogonal ist. Denn sei $\begin{eqnarray*} y \in W^\perp, x \in f(W) \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} \langle f(y) , x \rangle \underbrace{=}_{z \in W} \langle f(y),f(z) \rangle \underbrace{=}_{\text{f orthogonal}} \langle y,z \rangle = 0 ~ \forall x \in f(W) \end{eqnarray*}$

Damit hat man $\begin{eqnarray*} f(W^\perp) \subset f(W)^\perp \end{eqnarray*}$ . Die andere Inklusion zeigt man ähnlich. Dabei hilft $\begin{eqnarray*} y \in f(W^\perp) \Leftrightarrow \exists x' \in W^\perp ~ f(x') = y \end{eqnarray*}$

Aussage 2 ist sicherlich wahr, aber nur ein Beispiel testen reicht hier nicht. Das beweist man übrigens in einer Zeile.

Zitat:

Also um nochmal sicher zu gehen dich richtig verstanden zu haben ist Nr. 3 falsch, ja?

Die Aussage 3 ist falsch, das überprüft man leicht in dem man mal das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \langle v_3,w - \langle v1,w \rangle v_1 - \langle v_2,w \rangle v_2 - \langle v_4,w \rangle v_4 \rangle \end{eqnarray*}$

ausrechnet. Da kommt nämlich nicht 0 heraus.

Zu Aussage 4 : Diesen Vektor gibt es. v = 0. Das ist auch der einzige der dass kann.

Zitat:

Bei 4, eine orthogonale Gruppe ist ja längenerhaltend, wenn das richtig wäre ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ Eigenwert, was nicht sein kann.

Der Vektor 0 wurde in der Aussage nicht ausgeschlossen, daher gibt es diesen Vektor v.

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