Beweis r^2 ist ungleich 2

05.04.2009, 18:47

DasTinchen

Beweis r^2 ist ungleich 2

hu hu ...

könnte mir bitte jemand folgenden beweis erklären?

es soll bewiesen werden, dass es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ kein r^2=2 gibt.

was ja völlig logisch ist. ... nur ist der beweis den unser prof zu tage gefördert hat, leider völlig unverständlich für mich.

beweis:
angenommen, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit r^2=2. Da r^2 = (-r)^2, können wir ohne einschränkung r>0 annehmen.

... soweit komm ich noch mit... dann...

Es gilt 1<r<2. Wähle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ minimal mit $\begin{eqnarray*} mr \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (was nach dem wohlordnungsprinzip für die nat. zahlen geht).
Sei p= (r-1)m=mr-m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Da r-1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (0,1), folgt $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und p < m, wobei pr= (r-1)mr=2m-mr.

das ist widersprüchlich zur wahl von m.

hö???? ich versteh den beweis einfach nicht... bitte bitte erklärt mir den jemand?

LG
Tinchen

05.04.2009, 19:28

papahuhn

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Wo genau haperts? Kommst du bei den einzelnen Folgerungen nicht mit?

05.04.2009, 19:39

DasTinchen

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ich verstehe einfach nicht... an welcher stelle mir der beweis sagt, dass es so ist. bzw. wie ich darauf komme traurig

05.04.2009, 20:11

papahuhn

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Kannst du nachvollziehen, dass $\begin{eqnarray*} 2m-mr \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist?

05.04.2009, 20:18

Elvis

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Wurzel aus 2
@DasTinchen,
deine anfängliche Aussage, "was völlig logisch ist", kann so nicht stehen bleiben, denn damit ignorierst du die heroischen Bemühungen der alten Griechen, insbesondere in der pythagoreischen Schule, die das noch nicht wußten, und die Glanzleistung der ersten entsprechenden Beweise vor über 2000 Jahren. böse

Selbstverständlich muss man diesen wichtigen Satz beweisen, um zu verstehen, dass nicht alle Zahlen rational sind. verwirrt

Der Beweis, den dein Professor gibt, ist völlig richtig. smile

Wenn du ihn verstehen willst, musst du ihn gaaanz langsam, Aussage für Aussage, eine nach der anderen, verstehen.

Im Prinzip ist das ein "Beweis durch Widerspruch". Das Skelett des Beweises funktioniert so:

Annahme : $\begin{eqnarray*} r= \sqrt {2} \end{eqnarray*}$ ist rational.
Dann gibt es ein minimales $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} mr \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Man findet dann ein kleineres $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} pr \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das kann nicht sein, weil m minimal ist. Das ist ein Widerspruch !
Also ist die Annahme falsch, d.h. $\begin{eqnarray*} r= \sqrt {2} \end{eqnarray*}$ ist nicht rational.

05.04.2009, 20:24

DasTinchen

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RE: Wurzel aus 2
@ Elvis:

sorry.... aber HÖ???

wieso ist das ein widerspruch? ... tut mir leid ... ich steh grad total auf dem schlauch und komm irgendwie nicht runter.

ich verstehe, dass ich m minimal wähle... aber warum dann noch p ?
und warum ist das ein widerspruch???

es tut mir echt leid... aber irgendwie will´s grad nicht rein in meinen kopf traurig

05.04.2009, 22:20

Elvis

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Wurzel 2
Nochmal ganz einfach. Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ rational wäre, gäbe es eine kleinste natürliche Zahl m mit einer gewissen Eigenschaft. Aus dieser kleinsten natürlichen Zahl könnte man eine noch kleinere natürliche Zahl p mit derselben Eigenschaft berechnen. Das kann doch nicht sein, kleiner als kleinste ist doch kompletter Blödsinn. böse

(Mathematiker sind höfliche Menschen, deswegen sagen sie "Widerspruch" statt "kompletter Blödsinn" Big Laugh

)

06.04.2009, 00:37

Frank Xerox

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RE: Wurzel aus 2

Zitat:

Original von DasTinchen
Ich verstehe, dass ich m minimal wähle... aber warum dann noch p ?
und warum ist das ein widerspruch???

Bin mir nicht sicher was Du wirklich verstehst und was nicht, wenn Du u.a. schreibst es sei vollkommen logisch, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ irrational ist. Deshalb mal Schritt für Schritt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist rational.

Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r^2=2 \end{eqnarray*}$ .

Dieses $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ hat nun eine gekürzte Bruchdarstellung (also mit minimalem $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ) der Gestalt: $\begin{eqnarray*} r=\frac nm, \ \mbox{mit} \ m\in\mathbb N,~n\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$

Offensichtlich gilt: $\begin{eqnarray*} n=mr\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$

Dann betrachten wir: $\begin{eqnarray*} p:=(r-1)m=mr-m. \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \ \mbox{und} \ mr\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist also auch $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} 0<(r-1)<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl, die echt kleiner ist als $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Es gilt nun: $\begin{eqnarray*} pr=mr^2-mr=\underbrace{2m}_{\in\mathbb N}-\underbrace{mr}_{\in\mathbb Z}\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$

Dies widerspricht der eingangs geforderten Minimalität von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .
Die Annahme führt zu einem Widerspruch und muss somit falsch sein.
Also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht rational.

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