Ähnlichkeit von Matrizen

06.04.2009, 10:37

axelt

Ähnlichkeit von Matrizen

Welche der folgenden Matrizen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sind zu einer Diagonalmatrix - also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 0\\ 0 & \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ähnlich?

Das Kriterium für Ähnlichkeit hatten wir folgendermaßen notiert: $\begin{eqnarray*} \exists S \in Gl(K):B=S^{-1}\cdot A \cdot S \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist Gl die Gruppe der invertierbaren Matrizen.

Jetzt habe ich schon gegoogelt aber nur Kriterien gefunden wann zwei Matrizen nicht ähnlich sind. Aber um Ähnlichkeit zu zeigen müsste ich ja so eine Matrix S finden. Wie komme ich darauf?

Überprüft werden sollen die folgenden vier:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich wahrscheinlich wird es dafür ja eh ein allgemeines Verfahren geben :-)

06.04.2009, 10:49

Mazze

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Zitat:

Aber ich wahrscheinlich wird es dafür ja eh ein allgemeines Verfahren geben :-)

Den allgemeinen Weg solltest Du eigentlich kennen. Nehmen wir an die Matrix A sei diagonalisierbar, d.h sie ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix D. Die Einträge der Matrix D sind die Eigenwerte von A. Was tut man ?

Eigenwerte von A berechnen.
Eigenvektoren zu den Eigenwerten berechnen. Hierbei ergibt sich auch ob die Matrix überhaupt diagonalisierbar ist.

Setze $\begin{eqnarray*} S = (v_1,v_2,...,v_n) \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,...,v_n \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ aus Eigenvektoren von A sind. Dann ist

$\begin{eqnarray*} SDS^{-1} = A \end{eqnarray*}$

06.04.2009, 12:37

axelt

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Also gut,

Eigenwert habe ich ehrlich gesagt bisher in der VL noch nicht gehört, ich habe mich aber etwas eingelesen:

Über das charakteristische Polynome hab ich zuerst einmal die Eigenwerte 1 und 3 herausbekommen.

Damit habe ich dann folgende zwei Matrizen (hier bin ich mir nicht wirklich sicher) gelöst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&2\\0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2&2\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls das schon die falschen Matrizen sind muss ich gleich mal posten wie ich drauf gekommen bin.

Damit habe ich dann die Eigenvektoren

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Ist das soweit richtig?

Inwiefern ergibt sich jetzt hieraus, ob die Matrix diagonalisierbar ist?

06.04.2009, 13:41

Mazze

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Naja, wenn Ihr das alles noch nicht hattet, dann solltest Du es denke ich auch nicht benutzen. Das wird wohl alles der Vorbereitung auf die oben genannten Bereiche dienen. Insofern solltest Du hier einfach Gleichungssysteme aufstellen. Zum beispiel für A

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann folgendes Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha - 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & \beta - 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & \alpha - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta - 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S_{11} \\ S_{12} \\ S_{21} \\ S_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das lösen (sofern es lösbar ist). Als Hinweis noch. Die Nulllösung macht für dieses Problem hier keinen Sinn! Zudem sollte die Lösungsmatrix invertierbar sein.

06.04.2009, 15:16

axelt

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Hm damit bekomme ich überall nur die Nulllösung -.-

06.04.2009, 16:53

Mazze

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Überlege Dir wann das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ nichttriviale Lösungen hat. Dem entsprechend musst Du Alpha und Beta wählen. Es gibt vier Möglichkeiten diese zu wählen und zwei liefern invertierbare Lösungen.

06.04.2009, 18:27

axelt

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Ich hätte ja einfach gesagt, wenn es es mehr Variablen als Gleichungen gibt, also freie Variablen vorhanden sind. Nach Google lässt sich das aber irgendwie mit der Determinanten machen, was wir auch noch nicht hatten. Dementsprechend scheint es mir sinnvoller, die Aufgabe erstmal zurückzustellen und zu schauen ob dazu noch was besprochen wird. Vielen Dank noch für die Hilfe!

06.04.2009, 18:33

Mazze

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Merkwürdig das ihr Gleichungssysteme besprochen habt ohne die Determinante einzuführen. Das homogene GLeichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ hat nichttriviale Lösungen wenn die Determinante von A gleich null ist. Die Determinante von oberen Dreiecksmatrizen ist das Produkt der Diagonalelemente. Für das Gleichungssystem oben heisst das :

$\begin{eqnarray*} (\alpha - 1)(\alpha - 3)(\beta - 1)(\beta - 3) = 0 \end{eqnarray*}$

Kleiner Tip : Setze alpha = 1 und beta = 3 (oder umgekehrt).

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