Periodische Folge rekursiv definiert.

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mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »
Periodische Folge rekursiv definiert.
Hallo,

ich habe momentan ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben seien reele Zahlen . Durch die rekursive Vorschrift



mit n=0,1,2,...

werden zwei Folgen und definiert. Man bestimme in Abhängigkeit von und alle Zahlen , für die die Folge periodisch ist.


Ich hätte einfach gerne ein Ansatz. Meine bisherigen Überlegungen sind, die beiden Folgen erstmal in eine explizite Darstellungsform zu bringen, aber das gelingt mir nicht so richtig.
Gesetzmäßigkeiten zwischen den Folgengliedern konnte ich auch nicht feststellen.

Ich hoffe auf eure Hilfe.



Bis denn mathe760 Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »
machen wir es komplexer...
Es gibt folgenden ungewöhnlichen, und auch nur auf die spezielle Struktur dieser Folge zugeschnittenen Zugang:

Betrachte die komplexe Folge , dann ist laut deiner Rekursion

. Augenzwinkern
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich konnte leider erst jetzt etwas zu deinem Beitrag schreiben Arthur Dent:


Aus deinem Ansatz folgt x_n+1=y_n+1 und y_n=0 ausserdem folgt durch den Ansatz: x_n=x_n+p, dass die Folge x_k periodisch ist, genau dann wenn x_0=x_p ist.

Was das jetzt für die Periode heißt erschließt sich mir momentan nicht unmittelbar....



Bis denn mathe760 Wink
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »



Also:



oder:



Wann ist , also ? Dann hast du nämlich eine Periode.


@Arthur: Wow, das ist wirklich ein abgefahrener Trick, danke dafür smile

EDIT: Mist, das ist ja nur eine Periode von z. Sry, aber vllt hilft das ja trotzdem irgendwie weiter.
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische Folge rekursiv definiert.
Zitat:
Original von mathe760
Gegeben seien reelle Zahlen . Durch die rekursive Vorschrift



mit n=0,1,2,...

werden zwei Folgen und definiert. Man bestimme in Abhängigkeit von und alle Zahlen , für die die Folge periodisch ist.

Ich hätte einfach gerne einen Ansatz.

Nachdem laut Aufgabenstellung ist, hier ein erster Tipp:







Mach das mit den Ergebnissen noch zwei-, dreimal und du bekommst eine schöne Rekursion mit x bzw. y.
Nach meiner Rechnung werden die Folgen periodisch mit

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodische Folge rekursiv definiert.
Zitat:
Original von outSchool
Nach meiner Rechnung werden die Folgen periodisch mit



Stimmt! Und ebenso bei:



Das ergibt sich aber beides schon aus dem Ansatz von Arthur! Und da man leicht beweisen kann, wenn x_n periodisch ist, dann ist auch y_n periodisch mit gleicher Periode, deckt der Ansatz vor Arthur alles ab.
 
 
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank an euch allen, ihr habt mir wirklich sehr geholfen. Ich werde jetzt erstmal selbst versuchen, eure Ansätze zu Papier zu bringen und dann später meine Rechnung posten. smile


Bis denn mathe760 Wink
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mein Ergebnis:


Ich habe jetzt die geschlossenen rekursiven Darstellungen für die beiden Folgen ermittelt:





(Hier sieht man bereits, dass x_n die gleiche Periode wie y_n hat)

Wenn ich jetzt aber versuche die Gleichung nach p aufzulösen gelingt es mir nicht. Ich komme am Ende auf

aber wie man jetzt weiter vorgeht weiß ich nicht.

\Edit: Ich soll zwar nur a berechnen, möchte aber zur übung auch die länge p der Periode berechnen.

Bis denn mathe760 Wink
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Periode hast du doch schon verwirrt
Nämlich 4
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dachte ich mir eigentlich auch schon, war mir aber nicht sicher weil ich das jetzt das erste mal mache... und -4a^4 muss dann gleich 1 sein?



Bis denn mathe760 Wink
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ja sagen (auch das erste Mal, dass ich sowas mache Big Laugh ). Dafür brauchst du dann komplexe Einheitswurzeln.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok aber mein Problem ist jetzt, dass für Der Faktor -1 und nicht 1 ist...




Bis denn mathe760 Wink
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt jetzt imho zwei Möglichkeiten: Entweder legst du jetzt die Periode als 8 fest, dann hebt sich das -1 raus. Oder du rechnest die komplexe Lösung von a für die Periode 4 aus.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt denke mal das erste, da ja schon gesagt wurde, dass die Lösungen von a eben +-0,5*sqrt(2) sind. Dann wäre ich fertig, eine Bestätigung der richtigkeit von der Periodenlänge 8 wäre super.



Bis denn mathe760 Wink
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe760
,eine Bestätigung der richtigkeit von der Periodenlänge 8 wäre super.

Die Periodenlänge ist 8!
Eigentlich stand ja schon alles da. Aus dem Ansatz von Arthur folgt:



Wenn eine Periode der Länge p vorliegen soll, hat man

, also



Lässt man die triviale Lösung für alle n weg, folgt:



Da a gemäß Aufgabe reell ist, muss reell sein. Das erfordert . Jetzt hat man:



Da posiitiv ist, muss auch positiv sein. Also muss k gerade sein, d. h. . Damit hat man schließlich:

, also ist die Periode 8 oder ein Vielfaches davon und

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