Erzeugende Funktion

06.04.2009, 15:02

akasharishi

Erzeugende Funktion

Hallo!

Ich habe eine Frage zur erzeugenden F. , warum gilt $\begin{eqnarray*} G'_X(0)=P(X=1) \end{eqnarray*}$ ? Wenn ich hier $\begin{eqnarray*} G'_X(x)= \sum_{i=0}^\infty~ix^{i-1}P(X=i) \end{eqnarray*}$ Null einsetze wird das Produkt hinter dem Summenzeichen doch Null, und so die ganze Summe 0, oder? Zugleich wundert mich auch $\begin{eqnarray*} G_X( 0)=P(X=0) \end{eqnarray*}$ etc.
Könnte mir das bitte jemand erklären?

Gruß

Rishi

06.04.2009, 15:24

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RE: Erzeugende Funktion

Zitat:

Original von akasharishi
Wenn ich hier $\begin{eqnarray*} G'_X(x)= \sum_{i=0}^\infty~ix^{i-1}P(X=i) \end{eqnarray*}$ Null einsetze wird das Produkt hinter dem Summenzeichen doch Null

Nein, wird es nicht: Der Summand für i=1 ist nicht Null.

Das Absolutglied x^0 bei Polynomen oder Potenzreihen ist gleich 1, nicht 0. unglücklich

Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das sowieso klar, und für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ wird es bei Polynomen/Potenzreihen so definiert, per stetiger Fortsetzung.

06.04.2009, 15:44

akasharishi

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Wenn ich das richtig verstehe wird also 0^0=1 definiert...Mich hat das nur verwirrt da 0^0 doch auch oft als nicht definiert belassen wird.

06.04.2009, 16:49

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Keine allgemeine Diskussion über 0^0 hier - dafür gibt es andere, ermüdende Threads...

Hier bei Polynomen/Potenzreihen wird es schlicht so festgelegt: Wenn die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} a_0 + a_1x + a_2 + \cdot + a_nx^n = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten soll - auch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ - dann gilt eben hier per Definition $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , sozusagen als stetige Fortsetzung der Funktion x^0 in den Nullpunkt. In dem Zusammenhang steht auch die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} (x^k)' = kx^{k-1} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ : Es ist ja $\begin{eqnarray*} (x^1)' = (x)' = 1 \end{eqnarray*}$ auch im Nullpunkt!

Wenn dir diese Konvention bei Polynomen/Potenzreihen nicht gefällt, dann nimm die Potenz x^0 aus allen beteiligten Summen raus und behandle sie extra, also

$\begin{eqnarray*} a_0 + \sum_{k=1}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$

usw. Dann denk aber daran, beim Differenzieren nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_kkx^{k-1} \end{eqnarray*}$

zu schreiben, weil das dann wieder im Nullpunkt inkorrekt wäre, sondern

$\begin{eqnarray*} a_1 + \sum_{k=2}^n a_kkx^{k-1} \end{eqnarray*}$ ...

Viel Spaß noch. Augenzwinkern

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