Merkwürdiges Korollar

06.04.2009, 23:39	CocaCola	Auf diesen Beitrag antworten »
Merkwürdiges Korollar Für eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in K^{n \times n} \end{eqnarray}$ ist äquivalent (i) A ist invertierbar ... (iv) $\begin{eqnarray} rg A = n \end{eqnarray}$ also von (i)=>(iv) raff ich das aber nicht von (iv)=>(i)
07.04.2009, 01:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei der Rang gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Dann sind die Spalten $\begin{eqnarray} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ linear unabhängig und damit eine Basis des $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ . Es gibt also z.B. einen Vektor $\begin{eqnarray} x_1=(x_{11},\ldots,x_{n1})\in K^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Ax_1=x_{11}a_1+\ldots+x_{n1}a_n=e_1 \end{eqnarray}$ . Ebenso gibt es einen Vektor $\begin{eqnarray} x_2\in K^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Ax_2=e_2 \end{eqnarray}$ usw.. Schreibe die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ als Spalten in dieser Reihenfolge in eine Matrix $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} AX=E_n \end{eqnarray}$ , also besitzt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine rechtsinverse Matrix und ist damit schon invertierbar.
07.04.2009, 11:03	CocaCola	Auf diesen Beitrag antworten »
jo klar! jetzt wo man es sieht!
08.04.2009, 17:29	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder einfach die Dimensionsformel verwenden.
09.04.2009, 11:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm?
09.04.2009, 12:37	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dim(V) = dim ker(A) + dim Bild(A), beziehungsweise dim(V) = dim ker(A) + Rang(A) A ist ja genau dann invertierbar, wenn ker(A) = {0} und Bild(A) = V gelten. Es ist hier die Frage, was der Fragesteller schon weiß. Ist Rang(A) = dim Bild(A) bekannt? Dann kann er die Formel verwenden und ist fertig. Ist bekannt, dass eine quadratische Matrix bereits bijektiv abbildet, wenn sie surjektiv ist? Wenn ja, dann kann dein Beweis genutzt werden, denn du zeigst die Surjektivität.
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09.04.2009, 15:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm nagut, man könnte dann natürlich über die Invertierbarkeit der zugehörigen linearen Abbildung gehen. Letztendlich ist es aber wahrscheinlich eh alles das Gleiche, das von mir genutzte " $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ linear unabhängige Vektoren sind bereits eine Basis" ist ja ungefähr das gleiche Argument wie die Dimensionsformel.

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