Ungleichung

07.04.2009, 10:24

BErnhArd_P

Ungleichung

Da mich das Thema eigentlich interessiert aber wir sowas in der Schule nicht durchgenommen haben stehe ich bei folgender Aufgabe vor nem kleinen Problem:

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \geq 0, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n} \leq 2^{n-1}(a^n + b^n) \end{eqnarray*}$

ich habs mal so probiert:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n} \leq 2^{n-1}(a^n + b^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^{2n} \leq 2^{2n-2}(a^n + b^n)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\frac{a+b}{2})^{2n}\leq (\frac{a^n+b^n}{2})^2 \end{eqnarray*}$
arithmetisches->quadratisches Mittel links:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^{2n}\leq(\frac{a^n+b^n}{2})^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\frac{a^2+b^2}{2})^n\leq(\frac{a^n+b^n}{2})^2 \end{eqnarray*}$

aber ich hab keine Ahnung ob der Weg zum Ziel führt... . Für den Spezialfall n=4 hab ichs so gemacht, deswegen hab ichs aallgemein auch so versucht. Kann mir wer nen Tipp geben?

MfG

07.04.2009, 19:23

Romaxx

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Stichwort: Vollständige Induktion. Augenzwinkern

Dein jetziger Weg ist mir schleierhaft. Was machst du ab "arithmetisches->quadratisches Mittel links:" ?

Gruß

07.04.2009, 19:43

BErnhArd_P

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im Ausdruck über dem arithmetisches Mittel ->etc. hab ich ja 2n mal den ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ stehen=arithmetisches Mittel. Das Quadratische Mittel, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dem arithmetischen Mittel, also wenn ich das dort einsetze und zeigen kann, dass etwas was größer gleich dem Ausdruck ist, trotzdem kleiner gleich dem rechten Ausdruck ist, ist die Ungleichung folglich bewiesen. Im Spezialfall n=4 führt dies zur Lösung, aber hier weiß ich nicht ob das auch zielführend ist, deswegen die Frage.

07.04.2009, 20:05

Romaxx

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Ich bin mir nicht sicher, ob das ans Ziel führt. Der Gedankengang ist richtig.

Mit vollständiger Induktion kommst du schneller ans Ziel.

Versuche das mal! Augenzwinkern

07.04.2009, 21:06

BErnhArd_P

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naja vollständige induktion ist eigentlich nicht so das problem (denke ich zumindest Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n}(a+b) \leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab^{n}+ba^{n}\leq a^{n+1}+b^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq a^n(a-b)+b^n(b-a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq (a-b)(a^n-b^n) \end{eqnarray*}$

Und da muss man nun die Fälle unterscheiden a bzw. b $\begin{eqnarray*} <,=,>0 \end{eqnarray*}$ und dann sieht man, dass das Produkt immer größer oder gleich null ist.

Aber ich denke die Aufgabe ist gedacht um sie mit Mittelungleichung zu beweisen...., hat da jemand eine Idee?

MfG

09.04.2009, 20:14

BErnhArd_P

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keiner ne idee wie man das Beispiel mit Ungleichungen lösen könnte?

MfG

09.04.2009, 20:20

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Zitat:

Original von BErnhArd_P
$\begin{eqnarray*} 0\leq (a-b)(a^n-b^n) \end{eqnarray*}$

Und da muss man nun die Fälle unterscheiden a bzw. b $\begin{eqnarray*} <,=,>0 \end{eqnarray*}$ und dann sieht man, dass das Produkt immer größer oder gleich null ist.

Von "muss" kann keine Rede sein - du kannst die letzte Ungleichung auch umschreiben als

$\begin{eqnarray*} 0\leq (a-b)^2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k} \end{eqnarray*}$ ,

und der sieht man sofort an, dass sie für alle nichtnegativen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gilt. Augenzwinkern

Den Glauben, dass es einfach über Mittelungleichungen geht, teile ich nicht. Induktion ist hier m.E. schon die beste Variante.

10.04.2009, 13:27

Frank Xerox

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Optional könnte man die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_b:\mathbb R^+\longrightarrow \mathbb R,~f_b(x):=2^{n-1}(x^n+b^n)-(x+b)^n \end{eqnarray*}$

untersuchen und feststellen, dass:

$\begin{eqnarray*} f_b(b)=f_b'(b)=0,~f_b''(b)>0 \ \mbox{und} \ \lim_{x\to\infty}f_b(x)=\infty. \end{eqnarray*}$

Somit hat $\begin{eqnarray*} f_b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein absolutes Minimum und demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} f_b(x)\geq 0, \ \mbox{für alle} \ x\in\mathbb R^+. \end{eqnarray*}$

10.04.2009, 15:26

BErnhArd_P

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@ Frank: Danke für die Erklärung, verstehe sie aber nicht ganz, da ich nicht weiß was z.B. mit $\begin{eqnarray*} f_{b}(x) \end{eqnarray*}$ gemeint ist etc. . Aber der Grundgedanke ist der, dass du alles auf eine Seite bringst und das ganze als Funktion auffast und dann Ableitest und ein Minimum bestimmst-> das bei 0 ist, das heißt ddie Ungleichung stimmt. Hab so nen Zugang noch nie gesehen- ist aber interessant Augenzwinkern

. Ich wollte nur wissen, obs mit den Mittelungleichungen irgendwie geht, da ich auf keine lösung kam, aber da das nicht der Fall zu sein scheint, begnüge ich mich mit diesen beiden anderen Beweisen (wobei ich es mit v. Induktion bereits vorher bewiesen hatte) Big Laugh

MfG

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