Stetigkeit einer Betragsfunktion

07.04.2009, 20:55

MatzeJe

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Stetigkeit einer Betragsfunktion

Hallo ihr Matheversteher folgende Aufgabe wo ich (leider immer wieder) hänge:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\mid x-0,6\mid \end{eqnarray*}$
Ich soll herausfinden an welcher Stelle diese Funktion nicht stetig bzw. differenzierbar ist. Ich hab die Betragsstriche erstmal "weggeformt" und behaupte

x = 0,6 --> f(x)=0
x < 0,6 --> f(x)=0,6-x
x > 0,6 --> f(x)=x-0,6

Aus Überlegungen weis ich jetzt das es sich bei der Stelle um x0=0,6 handelt da sich ja dort links und recht die Zuordnungsvorschrift ändert, die Kurve hat nen Knick.
Mein Problem ist jetzt das ich dies mit der h-Methode (was anderes kann ich nicht) beweisen soll. Nur wie? Ich muss ja zwei verschiedene Werte bekommen wenn ich einmal den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert bestimmen soll. Ich habe jetzt das Denkproblem wie ich meine Funktion ergänzen muss um meine Bedingungen x<0,6 bzw. x>0,6 in die h-Methode zu integrieren. verwirrt

verwirrt

Help!

07.04.2009, 21:13

Elvis

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Stetig ?
Hallo,
der Anfang ist gemacht, denn du hast die Funktion so umgeschrieben, dass du keinen Betrag mehr benötigst. Wenn du jetzt die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x)=0,6-x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x)=x-0,6 \end{eqnarray*}$ unabhängig voneinander untersuchst, wirst du erkennen, was sie an der kritischen Stelle x=0,6 machen.

Tip: Sind die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ für x=0,6 gleich, so ist f stetig (sonst unstetig).
Tip: Sind die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ für x=0,6 gleich, so ist f differenzierbar (sonst nicht).

07.04.2009, 21:14

tigerbine

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RE: Stetigkeit einer Betragsfunktion

Klassische Knick Funktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2009, 22:39

Elvis

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Stetig ?
unglücklich

unglücklich

Entschuldige, ich mache auch nicht immer alles richtig. Bei dem Kriterium für Stetigkeit habe ich einen Fehler gemacht. Hammer

Hammer

Richtig muß es heißen:

Tip: Sind die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ für x=0,6 gleich $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ , so ist f stetig (sonst unstetig).

Das macht zwar in diesem Beispiel keinen Unterschied im Ergebnis, aber im allgemeinen ist Stetigkeit dadurch definiert, daß der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion existiert und mit dem existierenden Funktionswert übereinstimmt.

07.04.2009, 22:41

MatzeJe

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RE: Stetig ?

Zitat:

Original von Elvis
Tip: Sind die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ für x=0,6 gleich, so ist f stetig (sonst unstetig).
Tip: Sind die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ für x=0,6 gleich, so ist f differenzierbar (sonst nicht).

verwirrt

heißt es nicht immer das solche "Knickfunktionen" am Knick unstetig sind und nicht differenzierbar?

07.04.2009, 22:50

Elvis

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Betragsfunktion mit Knick
neee, gar nicht. Wenn eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ stetig ist, so ist die Funktion $\begin{eqnarray*} \mid f(x)\mid \end{eqnarray*}$ auch stetig, bekommt nur in den Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ Knicke, und deshalb wird an diesen Stellen der Betrag einer differenzierbaren Funktion im allgemeinen nicht mehr differenzierbar sein.

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07.04.2009, 22:55

MatzeJe

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RE: Betragsfunktion mit Knick
heißt sie ist stetig aber bei x=0,6 nicht differenzierbar?

07.04.2009, 23:02

Elvis

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Betragsfunktion
Hm, ja. Das glauben wir jetzt mal. Um es richtig zu beweisen, musst du nur noch ein bißchen rechnen. Tip: Rechne so, wie ich es dir in den beiden Tips für Stetigkeit und Differenzierbarkeit vorgeschlagen habe. (Die Rechnungen brauchen viel weniger Zeit als das Nachdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

07.04.2009, 23:06

MatzeJe

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RE: Betragsfunktion
danke, muss jetzt erstmal denn akku wieder auftanken. werd mich hier sicherlich nochmal melden.

08.04.2009, 12:49

MatzeJe

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Kann jemand evtl. nochmal auf die h-Methode eingehen, es rattert bei mir nur klicken tat´s noch nicht. verwirrt

verwirrt

08.04.2009, 13:04

Romaxx

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Hallo,

Überprüfe ob

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h}\quad,\quad x_0=0,6 \end{eqnarray*}$

existiert.

Ist das nicht der Fall, ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0=0,6 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar.

Setze also gemütlich ein und untersuche den Grenzübergang.

08.04.2009, 15:36

MatzeJe

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$\begin{eqnarray*} f(x)= 0,6-x<br /> f'(x)= -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x-0,6<br /> f'(x)= 1 \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} 0,6= \frac{0,6\pm h-0,6}{h} =\pm 1 \end{eqnarray*}$

welches ist richtiger?

08.04.2009, 15:57

Romaxx

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Wenn du es mit der h-Methode machen sollst, ist der zweite Teil besser.

Deine Darstellung ist aber formal falsch.

$\begin{eqnarray*} f'(0,6)=\lim_{h \to 0}\frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$ (1) lässt sich erst einmal nicht weiter auflösen.

Dewegen betrachten wir den links- (L) und rechtseitigen (R) Grenzwert.

(L) $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to \uparrow 0}\frac{-h}{h} = \lim_{h \to \uparrow 0} -1=-1 \end{eqnarray*}$

(R) $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to \downarrow 0}\frac{h}{h} = \lim_{h \to \downarrow 0}1=1 \end{eqnarray*}$

Da diese beiden nicht gleich sind, existiert (1) nicht.

08.04.2009, 16:07

Airblader

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@Romaxx

Deine Schreibweise am Ende ist leider auch problematisch.

So ist es etwas verständlicher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to \uparrow 0} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0} -1 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to \downarrow 0} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} +1 = +1 \end{eqnarray*}$

air

08.04.2009, 16:33

MatzeJe

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Um dem ganzen ein Abschluß zu geben ist meine Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\mid 0,6-x \mid \end{eqnarray*}$
stetig, aber nur im Intervall 0,6 < x < 0,6 differenzierbar

08.04.2009, 16:48

Elvis

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böse

NEIN. Was du als Intervall bezeichnest, ist keines !

Die Funktion ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Sie ist für $\begin{eqnarray*} x<0,6 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und hat dort die Ableitung $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$ . Sie ist für $\begin{eqnarray*} x>0,6 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und hat dort die Ableitung $\begin{eqnarray*} y=+1 \end{eqnarray*}$ . Sie ist nicht differenzierbar für $\begin{eqnarray*} x=0,6 \end{eqnarray*}$ .

08.04.2009, 20:44

MatzeJe

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Hammer

das macht sinn thx

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