Berechne die Bahn eines Punktes auf einer Kugel in einem bestimmten Winkel

08.04.2009, 18:29	Miikku	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne die Bahn eines Punktes auf einer Kugel in einem bestimmten Winkel Hi! Ich hab' eine (für mich) sehr schwierige Aufgabe, für die ich eure Hilfe brauche! Ich hab' zwar schon in einem anderen Forum gefragt, aber bis jetzt keine Lösung bekommen oder gefunden. Die Aufgabe: Ein Punkt ( $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ ) befindet sich an gegebenen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ Koordinaten auf der Fläche einer Kugel (Radius: r, Mittelpunkt: M). Demnach ist auch $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ gegeben, davon ausgegangen, der Punkt befindet sich auf der sichtbaren Hälfte der Kugel. Wie kann ich nun im Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ den Punkt auf der Kugelfläche um genau s wandern lassen und dann diesen neugewonnenen Punkt ( $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ ) bestimmen? Gegeben: $\begin{eqnarray} M_x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} M_y \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} M_z \end{eqnarray}$ - (= 0) Mittelpunkt der Kugel r - Radius der Kugel $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ - Koordinaten des $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ s - Strecke, die die Kugel zurücklegen soll AUF DER KUGELFLÄCHE $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ - Winkel, in dessen Richtung sich der Punkt bewegen soll Gesucht: $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ - Koordinaten des $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ also, wenn sich der Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ auf der Kugel in Richtung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ um die Strecke s bewegt hat. Mein Lösungsansatz: Ich habe versucht, zuerst die Strecke zwischen zwei gegebenen Punkten auf der Kugelfläche zu ermitteln. Erst hab' ich provisorisch $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ festgelegt, ohne die Kugelkrümmung zu beachten, mit folgender Formel: $\begin{eqnarray} x_2=x_1+\cos(\frac{\alpha\pi}{180}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2=y_1+\sin(\frac{\alpha\pi}{180}) \end{eqnarray}$ Dann ermittelte ich die DIREKTE Verbindung zwischen den beiden (wieder ohne Beachtung der Kugelkrümmung): $\begin{eqnarray} l = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \end{eqnarray}$ Dadurch konnte ich den Winkel errechnen, der den Abstand der beiden Punkte vom Kreismittelpunkt aus beschreibt: $\begin{eqnarray} \beta=\arccos(\frac{2r^2-l^2}{4r}) \end{eqnarray}$ Und schlussendlich diesen Winkel in die gewünschte Strecke s umwandeln: $\begin{eqnarray} \frac{2\pi r\alpha}{360} \end{eqnarray}$ Mein Problem:Toll, jetzt hab' ich die Strecke s ermittelt. Aber die Formel nutzt mir überhaupt nichts, weil sie sich nicht so umformen lässt, dass ich daraus $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ ziehen kann, wenn s gegeben ist. Kann mir jemand helfen? Ich Freu mich schon auf Antworten MfG Miikku
10.04.2009, 03:47	Shiwayari	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechne die Bahn eines Punktes auf einer Kugel in einem bestimmten Winkel Die Aufgabe ist mir noch nicht 100%ig klar.. - Was ist denn der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ überhaupt und was soll eine Bewegung "in Richtung eines Winkels" sein? Ein Winkel ist eine Größe, wie soll man in Richtung einer Größe bewegen? - Wie genau soll die Bewegung aussehen? Eine Drehung um eine Achse durch den Kugelmittelpunkt oder eine Bewegung auf einem zu einer Ebene parallellen Kreis, der auf der Kugel liegt .. ? Aus der (viel zu kleinen) Grafik meine ich ablesen zu können, dass eine Bewegung auf einem Kreis, der parallell zur x-y-Ebene ist, gemeint ist. Was der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sein soll ist mir ein Rätsel. Wenn ich da richtig liege dann habe ich folgende Idee: Da du den Kreis, auf dem sich der Punkt bewegt nicht gegeben hast, sondern nur die Kugel, musst du diesen erst bestimmen. Der Kreis ist der Schnittkreis einer zur x-y-Ebene parallellen Ebene, die den Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ enthält. Also zuerst diese Ebene mit $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ als Stützvektor aufstellen und mit der Kugel schneiden. Daraus kannst du dann den Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M_K \end{eqnarray}$ und den Radius $\begin{eqnarray} r_K \end{eqnarray}$ des Kreises bestimmen, auf dem der Punkt bewegt wird. Die z-Koordinate kannst du erstmal wegfallen lassen, da sich diese bei einer zu x-y-Ebene parallellen Bewegung sowieso nicht verändert. Du hast dann $\begin{eqnarray} r_K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_K(m_1{,}m_2) \end{eqnarray}$ Die Strecke s, um die der Punkt bewegt wird ist ein Bogen, kann also direkt in den Winkel umgerechnet werden, um die der Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ um den Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M_K \end{eqnarray}$ des Kreises gedreht wird: $\begin{eqnarray} s = \frac{\pi \cdot r}{180}\cdot \beta \end{eqnarray}$ Als nächstes bildest du (2-dimensional, ohne z-Koordinaten !) einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M_K \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ und suchst einen weiteren Vektor $\begin{eqnarray} \vec {v'} \end{eqnarray}$ , der mit $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ den Winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ einschließt. Wenn du mit dem Skalarprodukt arbeitest, bekommst du natürlich zwei Vektoren als Lösung, da du in zwei Richtungen drehen kannst. Die Drehung in die gewollte Richtung sollte man einfach ablesen können. Alternativ kannst du eine lineare Abbildung benutzen, falls du damit arbeiten kannst/darfst. Das sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos{\beta} & -\sin{\beta} \\ \sin{\beta} & \cos{\beta} \end{pmatrix} \cdot \vec{v} = \vec{v'} \end{eqnarray}$ Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ wird dadurch im mathematisch positiven Sinn um $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ gedreht. Wenn du nun eine Gerade (immer noch 2-dimensional) durch $\begin{eqnarray} M_K \end{eqnarray}$ mit dem Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \vec{v'} \end{eqnarray}$ mit dem Kreis schneidest, bekommst du 2 Schnittpunkte, von denen einer der gesuchte Punkt $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ ist. Den nicht gesuchten Punkt kannst du z.B. durch Abstandsberechnung der beiden Schnittpunkte zum Mittelpunkt aussortieren (falls $\begin{eqnarray} \beta \ne 90° \end{eqnarray}$ ) oder einfach nach Position ablesen. Die z Koordinate von $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ ist gleich der z Koordinate von $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ . Hoffe mal ich habe die Aufgabe so richtig verstanden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »