Zu Exponentialfunktion

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bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Exponentialfunktion
Ich habe noch einmal eine Nachfrage zu meiner Aufgabe zur Exponentialfunktion (siehe Exponentialfunktion)

Aufgabenstellung:

In der Natur wird (z.B. durch Gräser) das giftige Gas CO abgebaut. Dies geschieht so, dass immer nach 5 Minuten nur noch 60% der Ausgangsmenge vorhanden sind.

Am Anfang eines Experiments betrage die CO-Konzentration der Luft 5%.

a) Geben Sie eine Funktion an, die die zeitliche Entwicklung der CO-Konzentration der Luft beschreibt.

b) Nach welcher Zeit t liegt die CO-Konzentration der Luft unter 1 Promille?
------
Wie kann ich mit der Funktion n(t) = n0 * 0,6^t/5 teil b der Frage beantworten? (Nach welcher Zeit t liegt die CO-Konzentration der Luft unter 1 Promille?)
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
Hi
Ich hab' gesehen, dass klarsoweit Dir dazu schon einiges gesagt hat.
Wichtig ist, dass Du für den Anfangswert n0 die besagten 5% nimmst, also 0.05.
Du suchst die Zeit, nach der der Funktionswert 1 Promille ist, also 0.001. Damit kannst Du schon eine Gleichung aufstellen.
bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
also

0,001=0,05*0,6^t/5 und dann nach t umstellen?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
Ja genau.
Kriegst Du das hin?
bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
ehrlich gesagt nein *schäm* kannst du mir einen Tip geben?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
*schäm* ist unnötig, wir alle lernen ständig dazu.

Wenn eine Variable im Exponenten ist, gibt es die Methode des Logarithmierens, um sie "herunterzubringen".
Hattet Ihr das schon im Unterricht?
 
 
bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
ach ja, jetz hat's klick gemacht ;-)

ist es dann der logarithmus von 0,6?

Der Zwischenschritt wäre:

t/5 = log_0,6 0,001*0,05 ?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
Du musst die ganze Gleichung logarithmieren, dann steht t/5 als Faktor vor log0.6
bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
log_0,6(t/5) ?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
So meine ich. Das ist dann leicht umzuformen.

bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
und dann * log0,001 und * t um nach t umzustellen? (* bedeutet "mal")
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ich erkläre mal wie ich es machen würde, wenn ich mit einer Formel nicht zurecht käme:

a sei irgendein Anfangsbestand
t sei eine Zeitspanne, in der sich immer etwas wiederholt.
p sei ein Faktor ( in % wird er als Teil oder Vielfaches von 1 dargestellt ).

Angenommen, jedes Jahr verdoppelt sich der Baumbestand eines Tannenwaldes, der am Anfang 500 Bäume zählt. (100 ige Verdopplung = 200%, Faktor 2)

Nach wie viel Jahren gibt es in dem Wald 6500 Tannen?

a(0) = 500 (Beginn der Zählung)
a(1) = 500*2 = 1000 ( nach einem Jahr)
a(2) = 500*2*2 = 2000 (nach zwei Jahren)
a(3) = 500*2*2*2 = 4000 (nach drei Jahren)
a(4) = 500*2*2*2*2= 8000 (nach vierJahren)

Und nun entwickeln wir eine Formel, dass wir quasi auf den Tag genau sagen können, wann im 4. Jahr sich 6500 Bäumchen (Sprösslinge zählen ja dazu) befinden.

der Wachstumsfaktor p (oft auch q) ist offensichtlich 2.
Beginn 500*2^0=500
1.Jahr 500*2^1=1000
2 Jahr 500*2^2=2000
3.Jahr 500*2^3=4000
4.Jahr 500*2^4=8000
a(5) = a(0)*p^5=16000

a(t) = a(0)*p^t u.s.w.

Nun fehlt uns nach dieser Tabelle nur noch eine einzige Angabe, nach der wir die soeben gewonnene Formel umstellen müssen, nämlich t.

a(0)=500
a(t)=6500
p=2
t=?

erst einmal mit Zahlen:

6500=500*2^t
6500/500=2^t
13=2^t
ln(13)=ln(2)*t (Logarithmengesetz)
ln(13)/ln(2)=t

t=3,7

Nach 3,7 Jahren (und das kannst du dir anhand der Tabelle auch vorstellen), ist der Bestand auf 6500 Tännchen angewachsen.

Lassen wir das einmal mit dem genauen Tag. Legen wir das Jahr zu 360 Tagen fest, dann sind 0,7 Jahre 8,4 Monate. Also etwa Mitte August.

Wenn du dir jetzt vor Augen führst, dass exponentielle Zunahme einen Faktor q (p) >1 und eine Abnahme (Zerfall) q<1 hat, dann sieht das für Prozentzahlen folgendermaßen aus:

5% ige Zunahme >>> Faktor 1,05
30% ige Abnahme >> Faktor 0,7


nun mit Variablen:

a(t)=a(0)*p^t
a(t)/a(0)=p^t
a(t) / a(0) = p^t
ln(a(t))=ln(p)*t (Logarithmengesetz)

ln(a(t))/ln(p)=t

Viel Spaß

Du kannst diesen Thread auch als komplette pdf-Datei bei dir archivieren.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
Nein. Ich rechne ein Stück vor, aber schau' es Dir später in Ruhe nochmal durch.
Linke und rechte Seite tauschen, damit es übersichtlicher wird.









Das brauchst Du nur mit TR auszurechnen.
bibbi_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
Vielen Dank! Blumen
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu Exponentialfunktion
Gern geschehen.
Aber ich würde Dir raten, das ganze Beispiel nochmal durchzugehen. Wenn Ihr Logarithmieren noch nicht hattet, war die Aufgabe ohnehin zu schwer.
Vielleicht findest Du auch einen Link, wo das erklärt ist.

Ciao
Sam2923 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu 0,60?
Guten Tag,

ich weiß das Thema hier ist schon etwas älter,

ich hoffe jedoch trotzdem noch eine Antwort zu bekommen.

Meine Frage:

ich hätte die Gleichung wie folgt geschrieben:

f(t)=0,05*0,40^x/t

Warum ist es hier richtig 0,60 statt 0,40 zu benutzen .Es fallen doch immer 40 Prozent ab wenn 60 Prozent übrig bleiben? Oder muss in der Basis beim Zerfall der Wert angegeben werden der noch übrig bleibt?

Danke im Vorraus

Grüße Simon
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu 0,60?
Wenn die Funktion

gilt, dann wird der Anfangswert zur Zeit t=5 mit 0,6 multipliziert und fällt somit auf 60 % bzw. um 40 %.
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