Mitternachtsformel

09.04.2009, 09:59

Sivadim

Mitternachtsformel

Hallo,
Ich halte demnöächst nach den Ferien eine GFS(ein Referat das wie eine Klassenarbeit zählt) über das Thema Mitternachtsformel.Das eigentliche Thema ist mir soweit klar, bin allerdings auf ein paar andere Fragen gestoßen:

Zuerstmal ist ein Punkt meiner GFS der Grundgedanke der Mitternachtsformel zu zeigen an der Gleichung x^2+b*x+c, b und c sind gegeben, sonst wären wir ja schon bei der Herleitung.Also z.B.

x^2+6*x+8=0 Nebenrechnung:6/2=3 3^2=9
x^2+6*x+9-9+8=0 Quadratische Ergänzung, fasse x^2+6*x+9 zusammen
(x+3)^2-1=0 l +1
(x+3)^2=1
Hier jetz mein Problem, wenn ich jetzt die Wurzel ziehe,wie
komm ich dann auf das 2. Ergebniss bei einer Klammer?

x+3=1 l -3
1.x=-2 2.x=?

Und dann noch ne Frage bisschen näher am Thema:
Was hat man davon die beiden Nullstellen zu wissen ausser dass man den Scheitel bestimmen kann?Wenn es keinen anderen Zweck hat, warum formt man es dann nicht einfach in die Scheitelform um um den Scheitel zu bestimmen, die Quadratische Ergänzung benutz man ja sowieso schon.Mein Lehrer meinte dazu leider nur , das könne man schlecht erklären und sowas in der Art dass alle Gleichungen die Eigenschaft haben, dass man sie auf die Form Gleichung=0 bringen kann. Ich glaube allerdings kaum, dass sich, falls jemand während meiner GFS auf die Idee kommt das zu Fragen, dieser Jemand mit dieser Antwort zufrieden wäre.

Das war's erstmal, freue mich auf eure Antworten Wink

09.04.2009, 10:31

klarsoweit

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RE: Mitternachtsformel

Zitat:

Original von Sivadim
(x+3)^2=1
Hier jetz mein Problem, wenn ich jetzt die Wurzel ziehe,wie
komm ich dann auf das 2. Ergebniss bei einer Klammer?

Das ist eben das grundsätzliche Problem, daß die meisten Schüler denken, Wurzel ziehen wäre eine Äquivalenzumformung. Das stimmt aber NICHT!

Um es nochmal klar zumachen. Das denken die Schüler:
$\begin{eqnarray*} x^2 = a \Rightarrow x = \sqrt a \end{eqnarray*}$ (vorausgesetzt a >= 0)

Und so ist es richtig:
$\begin{eqnarray*} x^2 = a \Rightarrow x = \sqrt a \text{ oder } x = -\sqrt a \end{eqnarray*}$ (vorausgesetzt a >= 0)

Für eine quadratische Gleichung gibt es eben unter Umständen 2 Lösungen.

Zitat:

Original von Sivadim
Was hat man davon die beiden Nullstellen zu wissen ausser dass man den Scheitel bestimmen kann?

Die Bestimmung von Nullstellen hat mit dem Scheitel eigentlich gar nichts zu tun. Allenfalls sind Teile des Rechenweges - vor allem bei Parabeln - identisch. Die Kenntnis von Nullstellen einer Funktion bzw. ein Algorithmus zur deren Bestimmung ist von großem Interesse. Bei vielen mathematischen Problemen geht es um die Lösung einer Gleichung der Form f(x) = a. Das läßt sich leicht auf die Form f(x) - a = 0 bringen und schon braucht man die Nullstellen der Funktion g(x) := f(x) - a.

09.04.2009, 12:23

Sivadim

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RE: Mitternachtsformel
Danke erstmal für die schnelle Antwort.

Hmm vielelicht habe ich mich bisschen unklar ausgedrückt, dass es eien positive und negative Wurzel gibt weiss ich, ich weiss nurnicht wie man die negative Wurzel bei einer Klammer herausfindet.

Zitat:

Die Bestimmung von Nullstellen hat mit dem Scheitel eigentlich gar nichts zu tun. Allenfalls sind Teile des Rechenweges - vor allem bei Parabeln - identisch.

Da wir noch nichts mir anderen Scheiteln zu tun hatten bin ich jetz automatisch von einer Parabel ausgegangen, mein Fehler.

Zitat:

Die Kenntnis von Nullstellen einer Funktion bzw. ein Algorithmus zur deren Bestimmung ist von großem Interesse. Bei vielen mathematischen Problemen geht es um die Lösung einer Gleichung der Form f(x) = a. Das läßt sich leicht auf die Form f(x) - a = 0 bringen und schon braucht man die Nullstellen der Funktion g(x) := f(x) - a.

Ist mir komplett unklar verwirrt

.Und selbst wenn denke ich bräuchte ich zu lange um das zu erklären. Gibt's das auch auf 8 Klässler Niveau?

09.04.2009, 13:00

klarsoweit

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RE: Mitternachtsformel

Zitat:

Original von Sivadim
Hmm vielelicht habe ich mich bisschen unklar ausgedrückt, dass es eien positive und negative Wurzel gibt weiss ich, ich weiss nurnicht wie man die negative Wurzel bei einer Klammer herausfindet.

Es doch völlig wurscht, ob man dieses hat:
$\begin{eqnarray*} x^2 = a \Rightarrow x = \sqrt a \text{ oder } x = -\sqrt a \end{eqnarray*}$ (vorausgesetzt a >= 0)

oder dieses:
$\begin{eqnarray*} Klammer^2 = a \Rightarrow Klammer = \sqrt a \text{ oder } Klammer = -\sqrt a \end{eqnarray*}$ (vorausgesetzt a >= 0)

Mit einer Klammer ändert sich doch nichts am grundlegenden Prinzip,

Zitat:

Original von Sivadim
Ist mir komplett unklar verwirrt

.Und selbst wenn denke ich bräuchte ich zu lange um das zu erklären. Gibt's das auch auf 8 Klässler Niveau?

Dann versuch das mal in deine Worte zu fassen. Im Grunde geht es doch nur um die Frage, wie man bei Funktion diejenigen x-Stellen findet, an denen die Funktion einen bestimmten vorgegebenen Wert annimmt.

09.04.2009, 14:31

Sivadim

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Dachte habe es verstanden und rechne also weiter:

(x+3)^2=1 Wurzel ziehen, diesmal die negative
x+3=-1 l-3
x $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$ =-4

Jetzt in Gleichung einsetzen:

-4^2+-4*4+4=0
16+(-16)+4=0 kann nicht stimmen

Wo liegt der Fehler oder wieder komplett falscher Ansatz?

09.04.2009, 14:57

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Zitat:

Original von Sivadim
(x+3)^2=1 Wurzel ziehen, diesmal die negative
x+3=-1 l-3

Laß das mit dem "Wurzel ziehen". Sage lieber:

$\begin{eqnarray*} (x+3)^2=1 \Rightarrow x+3 = 1 \text{ oder } x+3 = -1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Sivadim
x $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$ =-4

Besser so schreiben: $\begin{eqnarray*} x_2 = -4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Sivadim
-4^2+-4*4+4=0

Wo setzt du das denn ein? verwirrt