Tangentialebenen zu einer kugel durch eine ebene

09.04.2009, 12:43

The Rob

Tangentialebenen zu einer kugel durch eine ebene

Hallo alle beisammen,
ich bin nun wieder an einer stelle in der mathematik, an der ch nicht weiterkomme.
Ich habe mir folgende aufgabe gedacht:

Geben sie die beiden tangentialebenen zur kugel $\begin{eqnarray*} K: (\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\5\\0\end{pmatrix})^2=9 \end{eqnarray*}$ durch die gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ !

Mir ist klar, dass ich die tangenten zur kugel finden muss, durch den punkt (5|0|0) wobei die tangenten die kugel in den punkten (5|y|z) und (5|y|-z) beruehren muss.
Der abstand ist nach pythagoras 4!
Aber ich weiss nicht wie ich diese zwei punkte auf der kugel finde.
Ich wuerde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen koennte!
smile

09.04.2009, 14:17

NatürlicheZahl

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Erstmal gehört dieser Beitrag in den Bereich Geometrie smile

und dann verstehe ich deine Aussage nicht:

Zitat:

Mir ist klar, dass ich die tangenten zur kugel finden muss, durch den punkt (5|0|0) [...]

Warum (5/0/0)? Ich verstehe den Ansatz nicht, vielleicht machst du es dir zu kompliziert.

Durch deine Geradengleichung und die Kugel hast du doch einen Punkt und eine Richtung gegeben. Versuch damit mal was anzufangen. Mach dir am besten mal eine Skizze!

Tipp: Schnittpunkt von Gerade - Kugel

09.04.2009, 14:27

The Rob

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Ich bin kein horst, dass ich mir keine skizze mache und das gehoert sehr wohl in lina!
Leider verstehe ich deinen ansatz gar nicht. Kugel und gerade schneiden sich nicht! Die tangentialebenen sollen die gegebene gerade enthalten!

09.04.2009, 15:11

NatürlicheZahl

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Wie sollen denn zwei echt parallele Ebenen eine Gerade enthalten? verwirrt

09.04.2009, 15:19

The Rob

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Wer sagt denn, dass sie parallel sein sollen???

09.04.2009, 15:25

NatürlicheZahl

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Also erstmal bin ich nicht verantwortlich mir selbst irgendwas aus deiner Aufgabenstellung zusammenzubasteln. Ich habe dir gesagt, dass ich nicht recht verstehe, was gefragt ist und aus diesem Grund ist es deine Aufgabe die Aufgabenstellung zu verdeutlichen.

Wie ist die Aufgabe gemeint?

Ich habs so verstanden (siehe Bild 1, Bild 2 stellt eine zweite Möglichkeit dar, die Ebenen sind parallel zur Geraden); wenn du was anderes meinst, tuts mir leid...

09.04.2009, 15:49

The Rob

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Danke für deine Mühen auf jeden Fall!

achte mal auf deine gerade. der stützvektor der gerade g ist der Nullvektor!

die gerade g geht in deiner skizze jedoch durch den punkt (0|5|0).

das ganze ist gut vergleichbar mit der aufgabe, die beiden tangenten zu einem kreis durch einen anderen punkt (der nicht auf dem Krais liegt) zu finden. diese beiden Tangenten schneiden sich dann genau in diesem punkt.

und ind dieser aufgabe sind diese geraden halt ebenen, und diese sollen die schnittgerade g haben.

ich hoffe es ist nun verständlicher.

eigentlich sit diese aufgabe zeimlich klar definiert!

Trotzdem DANKE!
smile

09.04.2009, 16:33

NatürlicheZahl

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Also so:

09.04.2009, 16:36

The Rob

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Exakt!!!

09.04.2009, 17:00

NatürlicheZahl

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Okay Folgendes:

Wir haben die Gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du stellst eine Ebenenschar auf:

$\begin{eqnarray*} E_a = (\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Ebene hat einen Normalenvektor, der senkrecht zur Gerade g ist und wird durch den Parameter a in z Richtung hin und her verschoben.

Nun ist das a gesucht, dass dafür sorgt, dass die Ebene die Kugel berührt.

Am besten jetzt mit einem geeigneten Verfahren (z.B. Lotfußpunktverfahren) die Ebene suchen (das a suchen), die einen Abstand d=3 zum Mittelpunkt hat. Hier solltest du auf 2 Lösungen treffen.

13.04.2009, 11:00

Leopold

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Ein Verfahren, das auch bei komplizierteren Ausgangsdaten funktioniert.

Du kannst das Ganze als ebenes Problem auffassen. Betrachte dazu die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , die senkrecht auf der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ steht und den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Kugel enthält. Das ist in der Zeichnung die Ebene, auf die man schaut. In dieser Ebene spielt sich alles ab: Von den Tangentialebenen sind nur noch Geraden zu sehen (rot), die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ erscheint als Punkt (grün), die Kugel als Kreis (grün).
Es sei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Um die Berührpunkte $\begin{eqnarray*} T_1,T_2 \end{eqnarray*}$ der Tangentialebenen mit der Kugel zu bestimmen, mußt du den in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ liegenden Thaleskreis (gestrichelt) zum Durchmesser $\begin{eqnarray*} MS \end{eqnarray*}$ mit dem grünen Kreis schneiden.

[attach]10282[/attach]

Die Schritte sind also: Die Gleichung von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ aufstellen und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ berechnen. Danach den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ des Thaleskreises bestimmen. Den Thaleskreis kannst du durch zwei Bedingungen beschreiben: die Gleichung der "Thaleskugel" und die Gleichung der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Und die Punkte $\begin{eqnarray*} T_1,T_2 \end{eqnarray*}$ bekommst du schließlich als Schnitt der beiden Kugeln und der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .
Letztlich hast du also ein Gleichungssystem aus zwei quadratischen und einer linearen Gleichung zu lösen. Bekanntermaßen erhält man aber durch die Subtraktion der beiden Kugelgleichungen eine Ebenengleichung, die von allen Punkten des Schnittkreises erfüllt wird.

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