p-adische Zahlen Polynomring

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suza Auf diesen Beitrag antworten »
p-adische Zahlen Polynomring
Hallo, ich tue mich noch ein bisschen schwer mit den p-adischen Zahlen.

Definiert sind sie ja so: .

Meine erste Frage ist, wie sehen die Einheiten davon aus? Es heißt hier, das sind genau die Potenzreihen mit konstantem Term ungleich 0.
Was bedeutet das?
Potenzreihe schaut ja so aus: . Dann wäre z.B. und somit alle a_i = 0 ausser a_0 = 5.
Da (mit x_{-1} = 0) wären dann alle .
Somit wäre dann x = (5, 5, 5, 5, .....) eine Einheit von . Richtig?

Formal sollen die Einheiten von die Menge sein, also ohne pZ_p (das \ will gerade nicht funktionieren).
Wie sieht denn wiederum aus?
Und wieso ist das das gleiche wie die Potenzreihen mit konstanten Termen?
suza Auf diesen Beitrag antworten »

ups, jetzt hab ich meinen Polynomring vergessen,
wie Z_p[x] aussieht will ich nämlich auch noch wissen Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
ganze p-adische Zahlen
Deine Definition der ganzen p-adischen Zahlen ist ja soweit in Ordnung, das sind also die Potenzreihen mit . Das Einselement ist .

Die Multiplikation beginnt so: . Ist so gibt es kein mit , also kein inverses Element in . Ist so gibt es ein mit , das geht auch für alle höheren Potenzen von p, also existiert ein inverses Element in . Also sind genau die invertierbar (d.h. "Einheiten"), für die ist. Das sind die Potenzreihen mit konstantem Term ungleich 0.

heiß nun nichts anderes, als daß man ein Element aus mit p multipliziert, also denn .

Da nun die Potenzreihen sind, die mit anfangen, ist doch klar, dass die Einheiten gerade sind.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
zu ups
ups. Der Polynomring über ist natürlich , und der sieht aus wie jeder Polynomring über einem Ring.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
eine 5-adische Inverse
Hallo, die Theorie ist eine Sache, was macht die Praxis ? Um zu zeigen, wie eine Einheit in invertiert wird, habe ich spaßeshalber die Inverse von berechnet.

Es soll also sein


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und so weiter und so fort (wenn man höhere Potenzen von hätte), also ist
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ganze p-adische Zahlen
Bei der Darstellung von ist mir wohl ein Fehler unterlaufen. ist und deshalb ist .

DAS ist die richtige Begründung dafür, daß die Potenzreihen in mit anfangen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eine 5-adische Inverse
... kann das mal jemand nachrechnen ? Ist es möglich, dass ich hier bei den "Ziffern" nicht nur modulo p rechnen, sondern "Überträge" berücksichtigen muß ? verwirrt Ja, die Praxis ist auch in der Mathematik immer noch eine andere Kategorie als die Theorie. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eine 5-adische Inverse
Vielleicht hilft dieses kleine Zitat weiter:

Zitat:
Mit diesen „formalen Laurentreihen in p“ kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können,


http://de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
ganze p-adische Zahlen
@ Tiegerbiene
danke, genau das habe ich mir gedacht, NACHDEM ich mein Beispiel losgeschickt hatte.
@ Alle
Übrigens sind die "Laurentreihen" die Zahlen in , dem Quotientenkörper von . Hier haben wir es nur mit ganzen p-adischen Zahlen zu tun, also mit "Potenzreihen".
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnung in Z5
... wer ist jetzt der/die Erste, der/die richtig berechnet ? Vor der SiegerIn verbeuge ich mich jetzt schon Gott
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
p-adische Zahlen
Bei dieser Diskussion (die fast, aber zum Glück nicht ganz, ein Selbstgespräch ist), ist mir auch wieder plausibel geworden, warum , der Quotientenkörper von , gerade aus diesen Laurentreihen besteht:
So wie die Multiplkation ganze p-adische Zahlen "nach rechts shiftet" , kann man sich vorstellen, daß ganze p-adische Zahlen "nach links shiftet". Das macht man endlich oft, solange bis , also die p-adische Zahl eine Einheit in ist. Also hat jede p-adische Zahl die Form mit .
ferdi24 Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal zu pZ_p. Wieso ist das (0, 1, 0, 0, 0, ....)?

Ich hab doch die kanonische Abbildung von Z --> Z_p durch
x --> (x mod p, x mod p^2, x mod p^3,....)

Dann bekomm ich p --> (0, p, p, p, p, ....),
Ändert zwar nix am 1. Eintrag, aber dann ist es nicht 0 an allen Stellen sonst.
Hm?
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