konvergente Reihe

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ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
konvergente Reihe
Hallo nochmal Wink

Die Aufgabenstellung lautet:


Ich weiss ja schon, dass , weil die Reihe als konvergent vorausgesetzt ist. Daraus folgt noch, dass die Folge beschraenkt ist, was aber fuer nicht gilt (die ist ja unbeschraenkt).
Hmm, wenns nicht eine Regel gibt, was mir sagt, dass , dann bin ich bei der Aufgabe planlos unglücklich
Wie macht man das bei solchen Aufgaben? Vielleicht Widerspruchsbeweis?
Vielen Dank!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Gar nicht, die Aufgabenstellung ist nämlich falsch (oder du hast eine wesentliche Voraussetzung weggelassen!). Die Reihe



konvergiert, die Folge jedoch divergiert (betragsmäßig bestimmt gegen ), ist also ganz sicher keine Nullfolge.
 
 
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Peinlich...
Du hast Recht - ich habe einen Satz uebersehen.
Die Voraussetzung ist, dass eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen ist und monoton faellt. Und ich hab schon eine Idee!
Danke smile
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie klappt es nicht verwirrt

Zu existiert sicherlich ein , sodass gilt.
Und hier kommt das Argument : Fuer Zahlen, die kleiner 1 sind, wird die Multiplikation in quasi zur Division - deshalb konvergiert auch die gesamte Folge gegen 0, glaube ich zumindest. Aber wie beweise ich das jetzt?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Argument verstehe ich nicht und es kann auch nicht stimmen, denn bis jetzt hast du an keiner Stelle die Konvergenz der Reihe benutzt. Nach ebendieser existiert nämlich zu jedem ein mit

.

für alle . Guck dir doch jetzt einmal die Summen und für an und versuche si in Beziehung zur fraglichen Folge zu bringen.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche seit Stunden deinen Hinweis zu entschluesseln traurig
Warum betrachte ich genau diese zwei Reihen? Das muss doch mit in Bezug stehen, oder? Aber wie?
Der Unterschied zwischen beiden ist nur ein Summand -
Wuerdest du mir noch ein bisschen helfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund der vorausgesetzten Monotonie kannst du beide Summen nach unten abschätzen:

und .

Die letzte Abschätzung rechts sollte nun aber ein deutlicher Wink mit dem Zaunpfahl sein. Augenzwinkern
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt jetzt, wegen , dass auch ist.
Dasselbe gilt fuer die Reihe bis , also insbesondere ist auch
Reicht das?
Ist die Aufgabe schwieriger als sie aussieht, oder bin ich tatsaechlich so daemlich?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ge88
Aus folgt jetzt, wegen , dass auch ist.
Dasselbe gilt fuer die Reihe bis , also insbesondere ist auch
Reicht das?
Ist die Aufgabe schwieriger als sie aussieht, oder bin ich tatsaechlich so daemlich?


Stellt bzw. denn die Folge dar, deren Konvergenz du gegen zeigen sollst?

Du musst hier noch etwas weiter ausholen.

Schau die den Faktor bzw. im Bezug zum Index von bzw. genau an.
Überlege zudem welche Folgenglieder wir für jede der oben genannten Folgen betrachten.

Gruß
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Was spricht eigentlich gegen



?

Liege ich da falsch und denke nicht weit genug?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Liege ich da falsch und denke nicht weit genug?

Falsch nicht, aber eben nicht weit genug: Damit beweist du ja nur, dass die Folge beschränkt ist. Da fehlt noch einiges bis zur Nullfolge...
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Nullfolge... richtig Forum Kloppe
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt, dass

Und aus folgt, dass

Das sind Nullfolgen. Also gilt
Richtig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Yesss! Rock
Vielen Dank an alle! Blumen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ge88
Aus folgt, dass

Und aus folgt, dass

Das sind Nullfolgen. Also gilt


Etwas sehr kurz. Das würde ich als Korrektor so nicht gelten lassen. Du musst z.B. noch angeben, für welche n die Abschätzungen gelten. Und dann fehlt mir die exakte Begründung dafür, dass (a_n) selbst gegen Null konvergiert.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt fuer alle mit
... uuund ist natuerlich eine Nullfolge, weil die Reihe konvergent ist.
Jetzt richtig?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, meinte na_n anstatt a_n...
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die geraden und ungeraden betrachtet und das ist schliesslich meine gesamte Folge.
Aber du hast Recht, es klingt nicht sehr exakt. Wie wuerdest du es schreiben?
Danke! smile
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