Kurze mathematische Darstellung von ..

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09.04.2009, 16:40	Maro	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze mathematische Darstellung von .. Habe hier den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und zwei Index-Variablen $\begin{eqnarray} i,j\in \{1,2,3\}, i \ne j \end{eqnarray}$ . Jetzt soll ein weiterer Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ entstehen. Die Zeile von $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ , die weder die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -te noch die $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ -te Zeile ist, soll $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ gesetzt werden. Die übrigen 2 Zeilen sollen vertauscht werden und die $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ -te Zeile soll noch mit $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ multipliziert werden. Ein paar Beispiele: $\begin{eqnarray} i=1, j=2 \Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} r_2\\-r_1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i=1, j=3 \Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} r_3\\0\\-r_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i=3, j=2 \Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\r_3\\-r_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Suche jetzt eine möglichst kurze mathematische Darstellung aus der ich $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ berechnen kann. Was benutzt wird ist relativ egal, z.B. Matrizenmultiplikation oder ähnliches.. Ich sehe auch, dass immer $\begin{eqnarray} \vec v \cdot \vec r = 0 \end{eqnarray}$ gilt, aber komme damit auf nichts brauchbares. Es sollten nur möglichst keine Fallunterscheidungsfunktionen verwendet werden. Kann wer helfen?
09.04.2009, 16:43	Maro	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, kleiner Tippfehler. Beim letzten Beispiel sind die Werte von i und j vertauscht.
10.04.2009, 09:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren Wenn du weißt, wie Matrizen als lineare Abbildungen funktionieren, lassen sich diese Matrizen ganz leicht herstellen. Tip: Die Elemente des Bildvektors sind das Skalarprodukt aus Matrix-Zeilen-Vektoren und Urbild-Vektor. Dann mußt du "nur noch" die Regeln finden, nach denen sich diese Matrizen herstellen lassen, und diese Regeln beschreiben. Tip: Mach ein paar Beispiele. Und nun noch ein Hinweis, der die Aufgabe wirklich erleichtern sollte: Suche die Matrizen, die jeweils eine Teil-Aufgabe erledigen, und dann führst du die Abbildungen einfach nacheinander aus (für Matrizen ist das gleichbedeutend mit Matrixmultiplikation (beachte: nicht kommutativ, d.h. es kommt auf die Reihenfolge der Matrizen an)).
10.04.2009, 14:57	Maro	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat schonmal geholfen. Habe jetzt 3 Matrizen, die die jeweiligen Schritte durchführen, musste aber dafuer die Signum-Funktion benutzen und es ist relativ umfangreich geworden. Folgendes habe ich jetzt: Zunächst die Funktionen: $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases} +1 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -1 & x<0 \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_k(i,j)=\operatorname{sgn}(\lvert k-i-j \rvert) \end{eqnarray}$ Matrix, die die nicht i-te und nicht j-te Zeile null setzt: $\begin{eqnarray} A(i,j)=\begin{pmatrix} f_5(i,j) &0&0\\0&f_4(i,j)&0\\0&0&f_3(i,j)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Matrix, die die i-te und j-te Zeile vertausch: $\begin{eqnarray} B(i,j)=\begin{pmatrix} 1-f_5(i,j) & 1-f_3(i,j) & 1-f_4(i,j) \\ 1-f_3(i,j) & 1-f_4(i,j) & 1-f_5(i,j) \\ 1-f_4(i,j) & 1-f_5(i,j) & 1-f_3(i,j) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Matrix, die die j-te Zeile negativiert: $\begin{eqnarray} C(j)=\begin{pmatrix} <br /> {(-1)}^{1-f_3(2,j)} & 0 & 0 \\<br /> 0 & {(-1)}^{1-f_3(1,j)} & 0 \\<br /> 0 & 0 & {(-1)}^{1-f_3(0,j)}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um jetzt von meinem Ausgangsvektor $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ zu kommen müsste ich doch eigentlich: $\begin{eqnarray} A(i,j)\cdot B(i,j) \cdot C(j) \cdot \vec r = \vec v \end{eqnarray}$ rechnen, oder? Dann wird aber anscheinend zuerst die j-te Zeile negativiert und dann die Zeilen vertauscht, worauf dann die falsche Zeile negativ ist. Wenn ich dagegen $\begin{eqnarray} C(j) \cdot B(i,j) \cdot A(i,j) \cdot \vec r = \vec v \end{eqnarray}$ rechne, dann stimmt das Ergebnis. An der Matrix C sollte es nicht liegen, die macht was sie soll, wenn ich sie einzeln anwende.. Vielleicht liegts an dem Programm, mit dem ich es berechne.. Oder muss man lineare Abbildungen in umgekehrter Reihenfolge anwenden, in der man sie ausführen will? Ich habe damit zwar meine Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} D(i,j)=C(j)\cdot B(i,j) \cdot A(i,j) \cdot \vec r = \vec v \end{eqnarray}$ aber mit der Signum-Funktion und meiner selbst definierten Funktion ist diese Matrix schon ziemlich groß.. Mach ich das vielleicht zu kompliziert so, oder ist das schon ganz gut? Mein Hauptproblem ist aus den Index-Variablen $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ auf einfache Art die in der Matrix gebrauchten Werte zu berechnen, die ja eigentlich nur 1 und 0 sind.
10.04.2009, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Matrizen Also, das ist ja nun wirklich eine prima Fleißarbeit geworden. Sowas kann passieren, wenn man (aus Versehen ) mit so einer komplizierten Funktion wie der Signum-Funktion anfängt. Das muss dann ja zwangsläufig in Fallunterscheidungen ausarten. Es geht bestimmt auch einfacher, vielleicht so: Du nimmst Dir einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{r}= \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , den deine Matrix z.B. auf $\begin{eqnarray} \varphi (\vec{r})= \begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abbilden soll. Die erste Zeile $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ deiner gesuchten Matrix, multipliziert mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1\cdot r_1+a_2 \cdot r_2+a_3 \cdot r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und soll gleich sein dem ersten Element von $\begin{eqnarray} \varphi (\vec{r}) \end{eqnarray}$ , also gleich $\begin{eqnarray} -r_2 \end{eqnarray}$ sein. Das geht nur mit $\begin{eqnarray} a_1=0,a_2=-1,a_3=0 \end{eqnarray}$ . Genauso baust du dir die zweite und dritte Zeile deiner Matrix auf, so dass also die zweite Zeile $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ auswählt; das macht die Zeile $\begin{eqnarray} (1,0,0) \end{eqnarray}$ . Und wenn die dritte Zeile alles zu 0 machen soll, bietet sich $\begin{eqnarray} (0,0,0) \end{eqnarray}$ an. Jetzt kannst du einfachste Matrizen bauen, die genau das tun, was du möchtest. Viel Spaß dabei.
10.04.2009, 19:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
... noch ne Funktion Habe mir deine Fragen noch mal aufmerksam durchgelesen (hätte ich vielleicht auch schon eher mal tun sollen ). Ein ganz sicher sehr nützliche Funktion für deine Zwecke ist das Kronecker- $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ . Das lässt sich immer gut verwenden, wenn man Fallunterscheidungen durch eine Funktion machen lassen möchte. Sie ist so definiert: $\begin{eqnarray} \operatorname {\delta}(k,l)=\begin {cases}1 &k=l\\0 & k\neq l\end{cases} \end{eqnarray}$ Ich glaube, das kannst du gut gebrauchen, weil deine speziellen Matrizen an bestimmten Stellen 0 oder 1 haben werden.
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10.04.2009, 20:20	Maro	Auf diesen Beitrag antworten »
@erster Post Hmm naja, eine Matrix zu bilden die $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ auf eine spezielle Weise abbildet ist ja kein Problem. Da ich die Variablen $\begin{eqnarray} i,j\in \{1,2,3\}, i \ne j \end{eqnarray}$ auf 6 unterschiedliche Weisen kombinieren kann, erhalte ich dann jedoch 6 unterschiedliche Abbildungsmatrizen. Das Problem ist nun diese möglichst einfach in eine einzige zu fassen. @zweiter Post Habe auch schon versucht, mir nützliche kleine Fallunterscheidungen zu überlegen, muss nicht unbedingt eine 'schon vorhandene' sein. Die Signum Funktion hat mir am besten gepasst. Mal sehen was ich mit dieser Kronecker Funktion anfangen kann, wobei ich spontan keinen großen Nutzen sehe, da die Bedingung $\begin{eqnarray} k = l \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} i \ne j \end{eqnarray}$ zumindest ohne trickreiche Rechnung nie erfüllt ist. ____ Das mit der Reihenfolge in der man die Abbildungen multiplizieren muss, ist mir immer noch nicht klar.. Wenn ich z.B. erst eine Streckung mit $\begin{eqnarray} A\cdot \vec v = \vec{v'} \end{eqnarray}$ und darauf eine Drehung mit $\begin{eqnarray} D \cdot \vec{v'} = \vec{v''} \end{eqnarray}$ durchführe, ist dann $\begin{eqnarray} A\cdot D \cdot \vec v = \vec{v''} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, warum wird dann mit der Matrix C aus meinem vorherigen Post die falsche Zeile negativiert, wenn ich es in dieser Reihenfolge mache? Einzeln angewendet wird die richtige Zeile negativiert.
10.04.2009, 22:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1.a Kronecker ist genau richtig. Du mußt "nur" die richtigen Zahlen i und j statt k und l an den richtigen Stelle in die Matrizen schreiben. 1.b Ich habe eben mal nach "Vertauschungsmatrizen" gegoogelt, und folgenden Link bekommen: http://math-www.uni-paderborn.de/~chris/...V/einschubA.pdf 2. Matrizenmultiplikation geht genau andersherum: A(B(x))=(AB)(x).
10.04.2009, 22:59	Maro	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage mit der Reihenfolge der Matrizenmuliplikation hat sich geklärt. Hab mal drüber nachgedacht.. $\begin{eqnarray} A\cdot \vec v = \vec{v'} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B\cdot \vec{v'} = \vec{v''} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow B\cdot(A\cdot \vec v)=\vec{v''} \end{eqnarray}$ Ist ja eigentlich recht einfach zu sehen..
10.04.2009, 23:41	Maro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, hab gedacht ich hatte vorher aktualisiert, wohl doch nicht ^^. Hatte gerade eine Idee für die Null-setzen Matrix mit Kronecker: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \delta(1,i)+\delta(1,j)&0&0\\0&\delta(2,i)+\delta(2,j)&0\\0&0&\delta(3,i)+\delta(3,j) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zum Glück ist $\begin{eqnarray} i \ne j \end{eqnarray}$ Kann man schonmal schneller berechnen, als mit Signum und extra-Funktion.
11.04.2009, 14:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Matrizen Hallo, ich habe noch einen kleinen Trick auf Lager. Man bezeichnet im allgemeinen eine Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} = (a_{k,l}), k=1,..,3,l=1,...,3 \end{eqnarray}$ und nennt $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ den Zeilenindex, $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ den Spaltenindex. Das hat den Vorteil, dass man alle Matrixelemente gleichzeitig ansprechen kann, denn das allgemeine Element ist ja gerade $\begin{eqnarray} a_{k,l} \end{eqnarray}$ In dieser Schreibweise ist das Kronecker-Symbol ganz stark, z.B. ist $\begin{eqnarray} E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = (\delta_{k,l}) \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix.

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