Integration durch Substitution

09.04.2009, 18:21

DOZ ZOLE

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Integration durch Substitution

Hallo, ich soll folgendes Integral bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^3\cdot \sqrt{4-x^2} ~dx \end{eqnarray*}$

in der aufgabenstellung wird als tipp der substitutionsansatz $\begin{eqnarray*} z=4-x^2 \end{eqnarray*}$ gegeben.also erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\pm \sqrt{(4-z)^3}\cdot \sqrt{z} ~dz \end{eqnarray*}$

hab allerdings keine wirkliche idee wie es jetzt weitergehen soll weil ich mit der partiellen integration auch nicht wirklich weiter komme.
kann mir jemand nen tipp geben?

MfG
DOZ ZOLE

09.04.2009, 18:28

Rare676

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wie es aussieht hast du das dx nicht richtig ersetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.04.2009, 19:31

DOZ ZOLE

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Zitat:

Original von Rare676
wie es aussieht hast du das dx nicht richtig ersetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie soll man das tun?

folgendes ist doch nur eine schreibweise die aussagt integriere die funktion f und nehme als integrationsvariable x. was soll man da ersetzen?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

sicherlich wenn die funktion nach der substitution von z abhängig ist wird auch die integrationsvariable z.

10.04.2009, 10:18

klarsoweit

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Du mußt dir eben die Substitutionsregel genau anschauen:

$\begin{eqnarray*} \int_{g(a)}^{g(b)}~f(x)~dx = \int_a^b~f(g(z)) \cdot g'(z)~dz \end{eqnarray*}$

Auf deine Aufgabe angewendet ist $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{4-z} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

10.04.2009, 11:04

DOZ ZOLE

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@ klarsoweit

du hast also den term $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$ nach x umgestellt oder?
denn komm ich auf $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{4-z^2} \end{eqnarray*}$ .
hast du etwas anderes gemacht oder hast du nur die potenz am z vergessen?

wenn ich denn dein x einsetze bleib folgendes integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(\sqrt{4-z})^3\cdot \sqrt{4-(\sqrt{4-z})^2}~dx=\int_{}^{}~\sqrt{(4-z)^3}\cdot \sqrt{-z}~dz \end{eqnarray*}$

oder hab ich da was falsch verstanden?

10.04.2009, 11:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
du hast also den term $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$ nach x umgestellt oder?

Nein. Ich habe z = 4 - x² nach x umgestellt.

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-(\sqrt{4-z})^2} \end{eqnarray*}$

Diesen Term hast du falsch umgeformt. Und wo ist das g'(z) bei dir?

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10.04.2009, 11:22

DOZ ZOLE

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bin jetzt nen bischen verwirrt. also

$\begin{eqnarray*} f(g(z))=\sqrt{g(z)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(z)=z=4-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(z)=1 \end{eqnarray*}$

seh ich das jetzt soweit erstmal richtig? denn würde doch für g'(z) nur noch ne 1 als faktor dazukommen?

10.04.2009, 11:27

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution
Nochmal ausführlich:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3\cdot \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$ (also das müßte doch wohl klar sein, das ist doch das, was integriert wird) und $\begin{eqnarray*} g(z)= \sqrt{4-z} \end{eqnarray*}$ .

10.04.2009, 11:40

DOZ ZOLE

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was ich gerade nicht verstehe ist wenn

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$

und wir jetzt mit $\begin{eqnarray*} z=4-x^2 \end{eqnarray*}$ substituieren erhalten wir doch

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sqrt{z} \end{eqnarray*}$

oder wenn ich $\begin{eqnarray*} z=4-x^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ umstelle und das denn einstetze hab ich doch

$\begin{eqnarray*} g(z)=\sqrt{4-(4-z)}=\sqrt{z} \end{eqnarray*}$

aber wie kommt man denn auf $\begin{eqnarray*} g(z)=\sqrt{4-z} \end{eqnarray*}$ ?

10.04.2009, 11:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
was ich gerade nicht verstehe ist wenn

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$

Wer sagt denn das? g(z) ist das, was für x eingesetzt wird. Und wenn man 4 - x² = z setzen will, dann ist eben $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{4-z} =: g(z) \end{eqnarray*}$

10.04.2009, 12:10

DOZ ZOLE

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Zitat:

Original von klarsoweit
g(z) ist das, was für x eingesetzt wird. Und wenn man 4 - x² = z setzen will, dann ist eben $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{4-z} =: g(z) \end{eqnarray*}$

also muss denn dieses integral gelöst werden?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(\sqrt{4-z})^3\cdot \sqrt{z}~dz \end{eqnarray*}$

ich glaub ich hab gerade iwie ne geistige blockade verwirrt

verwirrt

10.04.2009, 13:00

Rare676

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^3\cdot \sqrt{4-x^2} ~dx \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} z=4-x^2 \end{eqnarray*}$

Da das dx auch substituiert werden muss bildet man die ableitung von oben genanntem auf beiden seiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=-\frac{dz}{2x} \end{eqnarray*}$

Nun setzt du das bitte erstmal ein bzw. ersetzt es. Was steht dann da?

10.04.2009, 13:25

DOZ ZOLE

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denn haben wir:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \cdot \int_{}^{}~x^2\cdot \sqrt{z}~dz \end{eqnarray*}$

10.04.2009, 14:08

Rare676

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Ganz genau. Da wir nun aber über z integrieren, musst du dein x^2 auch noch ersetzen, wie in der Substitution vorgeschrieben. Setz es ein und versuch dich dann weiter daran Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe, du hast nun verstanden wie es läuft Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2009, 15:59

DOZ ZOLE

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hmm naja denn wäre doch dieses integral übrig oder?:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \cdot \int_{}^{}~(4-z)\cdot \sqrt{z}~dz =-2 \cdot\int_{}^{}~\sqrt{z}~dz+ \frac{1}{2} \cdot \int_{}^{}~z\cdot \sqrt{z}~dz \end{eqnarray*}$

die sache is nur das mein mathelehrer mich für sowas "steinigen" würde wenn er könnte... da dieses "dx" nur zu der integral schreibweise gehört kann man das eigentlich nicht danach umstellen und dadurch ist der ansatz:

$\begin{eqnarray*} z'\cdot dx=dz\Rightarrow dx=\frac{dz}{z'} \end{eqnarray*}$

naja sagen wir mal mathematisch nicht sauber auch wenns funktioniert.
trotzdem danke soweit

10.04.2009, 17:15

Rare676

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ja, genau. Und dieses Integral ist dann sehr einfach zu lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Resubstitution nicht vergessen!

10.04.2009, 19:43

DOZ ZOLE

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ok denn vielen dank.

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