Fläche eines Dreiecks im R³

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10.04.2009, 14:17	HabNeFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche eines Dreiecks im R³ Hallo zusammen, erstmal die Aufgabe: Berechne die Fläche des Dreiecks durch die Punkte: $\begin{eqnarray} Sx1 \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sx2 \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sx3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Mein Lösungsversuch: Zuerst habe ich die Gleichung für die Gerade g von Sx1 zu Sx2 aufgestellt: $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -9 \\ 18 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Davon die Länge beträgt $\begin{eqnarray} 9\sqrt{5} \end{eqnarray}$ , das ist schonmal die Grundseite. Jetzt fehlt mir noch die Höhe und da liegt mein Problem. Meine Idee: Ebene mit Normalenvektor=Richtungsvektor von g und durch den Punkt Sx3. Müsste ja dann so aussehen: $\begin{eqnarray} <br /> E: \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{x} = 0<br /> \end{eqnarray*}$ Aber hier finde ich es schon komisch, dass 0 herauskommt, wenn man dafür den Punkt Sx3 einsetzt. Angenommen, es ist dennoch richtig, und ich möchte den Schnittpunkt mit der Geraden g ausrechnen, bekomme ich aber keinen Wert für s heraus. Kann mir vielleicht jemand meinen Fehler klar machen? Danke!
10.04.2009, 14:32	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel lässt sich schnell mit dem Kreuzprodukt lösen (falls ihr es schon gemacht habt)... . Du kannst außerdem noch die einzelnen Seiten berechnen, dann den Winkel bestimmten und damit die Höhe ausrechnen (was hier jedoch unüblich ist). Zu deinem Ansatz: Wenn du diese Gleichung so aufstellst, hast du eine Gleichung und 3 unbekannte->bringt nicht wirklich was. Du bräuchtest also mehrere gleichungen, z.B. wenn du vom 3. Punkt den normalvektor "anlegst" und diese Gerade mit deiner Geraden schneidest. Dann erhältst du insgesamt 4 gleichungen und 4 unbekannte . Ein weiterer Ansatz wäre eine Symetrieebene zu deiner Geraden durch den dritten Punkt zu legen... MfG
10.04.2009, 14:45	HabNeFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Kreuzprodukt hört sich interessant bzw am einfachsten an, aber welche vektoren soll ich denn da multiplizieren? Also man bekommt ja dabei immer den senkrecht auf dem Schnittpunkt der beiden sich "kreuzenden" Vektoren stehenden Vektor heraus, das weiß ich schonmal^^ aber was bringt mir das?
10.04.2009, 14:52	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kreuzprodukt a x b steht in direktem Zusammenhang wie das Paralellogramm, dass die zwei vektoren a, b aufspannen. Der Betrag vom Normalvektor ist gleich der Flächeninhalt dieses Paralellogramms. Und damit ist man schon fast fertig MfG
10.04.2009, 15:02	HabNeFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich habe doch ein Dreieck und kein Prallelogramm. Ich verstehs im Moment nicht so ganz.
10.04.2009, 15:04	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie hängen dieses Parallelogramm und dein Dreieck zusammen? Es gibt einen ganz einfachen Zusammenhange. Du könntest dir zwei vektoren a,b aaufzeichen, das Paralellogramm einzeichnen und dann auch das Dreieck einzeichnen, dessen Fläche du berechnen willst. Wie kommt man nun vom Paralellogramm aufs Dreieck? MfG
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10.04.2009, 15:12	HabNeFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Man ich ... ^^ einfach die Hälfte nehmen und man hat den Inhalt des Dreiecks. Aber das mit dem Flächeninhalt ist mir neu. Also der Betrag vom Vektor, der bei diesem Kreuzprodukt herauskommt ist gleich der Fläche des Parallelogramms? Kann ich mir gar nicht vorstellen...
10.04.2009, 15:20	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau so ist es. Um das jetzt zu beweisen müsst ich auch erstmal ein bisschen überlegen, du kannst es aber sicher googeln oder so. Und sonst wird sicher ein anderer hier dir (und mir) den beweis erklären MfG
10.04.2009, 15:34	HabNeFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gut dann nehm ich das mal so hin^^ demnach wäre ja dann der Flächeninhalt des Dreiecks 121,5 richtig? Aber, um mal auf meine Methode zurückzukommen, die ja auch richtig sein müsste, warum klappt das denn nicht? Mit einer anderen Geraden, die quer im Raum ist und einem beliebigen Punkt im Raum klappts auch, nur in meiner Aufgabe nicht. Habe das hier gefunden: http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vekto...PunktGerade.pdf Nach dieser Methode müste es doch auch klappen an die Höhe zu kommen, oder? Warum funktioniert es denn dann nicht? EDIT: habe den Beweis für den Flächeninhalt per Kreuzprodukt übrigens schon gefunden
10.04.2009, 15:51	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
du legst die ebene durch den dritten punkt: $\begin{eqnarray} E: -1x+2y=d \end{eqnarray}$ , du setzt den dritten Punkt ein und erhältst als Ebenengleichung: $\begin{eqnarray} -x+2y=0 \end{eqnarray}$ Diese schneidest du jetzt mit derr Geraden und bestimmst den Schnittpunkt: 4 Gleichungen, 4 Unbekannte: -x+2y=0 x=-s y=-18+2s z=0 also $\begin{eqnarray} s+2y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=-18+2s \end{eqnarray}$ und so kannst du dann den Schnittpunkt bestimmen. Hoffe habe verständlich und richtig gerechnet. MfG
10.04.2009, 16:06	HabNeFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also für den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden habe ich raus: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} -7,2 \\ -3,6 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wow es kommt am Ende tatsächlich 121,5 heraus! Danke hat geklappt!
10.04.2009, 16:09	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau. Bekommst auch die gleiche Fläche wie oben heraus. Ich muss weg, falls noch fragen sind, bitte ein anderer weitermachen MfG

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