Problem mit Grenzwert

11.04.2009, 10:23

Lerisah

Problem mit Grenzwert

Es geht um Polstellen einer gebrochen-rationalen Funktion, und zwar war das ein Beispiel aus dem Internet, wo nur die Ergebnisse standen, ohne Rechenwege. Ich wollte das aber selbst rechnen und krieg das irgendwie nicht hin.
Was mach ich da falsch ?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x²-9} \end{eqnarray*}$

Um eine Polstelle zu finden, nehme ich ja den Nenner und setze ihn 0:

x² - 9 = 0

So da kommt logischerweise -3 / +3 raus.

Also sind meine Polstellen bei -3 und +3.
Weil ich ja wissen will, um welchen Pol es sich handelt, mache ich jetzt eine Grenzwertbetrachtung, d.h. ich suche mir Zahlen die einmal etwas kleiner und einmal etwas größer ist als 3. Dann schaut man welches Vorzeichen die Ergebnisse haben.
Wenn die ausgesuchten Werte sehr nahe an der Polstelle liegen, wird der Wert des Ergebnisses sehr groß sein. Das Vorzeichen dieses Wertes bestimmt außerdem die Richtung der Polstelle, also Minus nach unten und Plus nach oben.

So weit so klar...

Jetzt steht da als ausgesuchter Wert, der kleiner ist als -3 : - 2,999 (1. Wieso sind -2,999 MEHR als -3 ?)

2. Ich kriegs nicht hin die Gleichung vom Grenzwert aufzustellen verwirrt

$\begin{eqnarray*} f (x) = x² - 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f (x_0)= (-2,999)² - 9 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2,999} x = \frac{(x²-9)-(-2,999²-9)}{x-(-2,999)} \end{eqnarray*}$

Stimmt diese Gleichung ?
Als Ergebnis soll dann da -333 rauskommen.

Wäre euch echt dankbar, wenn ihr mir helft, ich mach mein Abi nämlich im Alleingang (Fremdenabitur) und das ist teilweise gar nicht so einfach, sich das alles selbst beizubringen geschockt

11.04.2009, 10:46

Mazze

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Zitat:

(1. Wieso sind -2,999 MEHR als -3 ?)

Stell Dir die Zahlen auf dem Zahlenstrahl vor und markiere zwei Zahlen. Die Zahl die weiter rechts steht ist größer. Und auf dem Zahlenstrahl steht nunmal die -2.999 weiter rechts als die -3.

Zitat:

2. Ich kriegs nicht hin die Gleichung vom Grenzwert aufzustellen verwirrt

Die Grenzwertbetrachtungen wie Du sie hier machst sind natürlich fast schon "grob fahrlässig", aber so haben wirs an der Schule auch gemacht. Allerdings solltest Du hier auch exakt aufschreiben was Du eigentlich haben willst.

Dich Interessiert das Verhalten der Funktion im Punkt 3. Du suchst also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} \frac{2}{x^2 - 3} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3+} \frac{2}{x^2 - 3} \end{eqnarray*}$

Dies sind die Schreibweisen für den Rechtsseitigen Grenzwert und den Linksseitigen Grenzwert. Das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2,999} x = \frac{(x²-9)-(-2,999²-9)}{x-(-2,999)} \end{eqnarray*}$

verstehe ich noch nichtmal. Wieso solltest Du den Grenzwert für x gegen -2.999 anschauen? Dort ist doch alles wunderbar wohldefiniert. Was Du sicherlich meinst ist

$\begin{eqnarray*} f(-2.999) \end{eqnarray*}$ auszurechnen um eine Näherung für das Grenzverhalten zu bekommen. Dies ist übrigens das rechtsseitige Verhalten. Für linksseitige Verhalten wähle etwa -3.0001 o.ä.

11.04.2009, 10:56

Lerisah

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ach mist, ich hab gedacht man setzt die -2,999 in die "limesgleichung" ein -.- Habe mal wieder viel zu kompliziert gedacht...

So, ich hab jetzt einfach f(-2,999) gerechnet und siehe da es kommt -333 raus !

Danke fürs erklären, habs verstanden !

11.04.2009, 11:47

Jacques

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Hallo,

Du solltest aber auch Mazzes Hinweis beachten: Die Methode mit den „nahen Zahlen“ ist kein Ersatz für eine echte Grenzwertberechnung! Das Entscheidende bei dem Grenzübergang x --> 3 ist doch gerade, dass x beliebig nahe an 3 heranrückt, d. h., jede Abweichung wird unterschritten. Du hörst dagegen schon bei $\begin{eqnarray*} 3 \pm \tfrac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ auf und vertraust darauf, dass der Graph nicht später noch einen Schlenker in eine ganz andere Richtung macht.

Bei vielen einfachen Funktionen wird die Methode „pi mal Daumen“ sicherlich klappen, aber bei anderen könnten Dich die Näherungswerte auch auf die völlig falsche Fährte locken. Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{R} \setminus \{ \pm 1 \} \to \mathbb{R} \quad x \mapsto \frac{-x^9+x^7+ 0{,}01}{x^{16} - 1} \end{eqnarray*}$

f(-1,001) und f(-0,999) sind beide positiv, also würde man nach Deiner Methode sagen, dass -1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist. In Wahrheit wechselt die Funktion dort aber sehr wohl das Vorzeichen, nur eben sehr „spät“. Auch für noch kleinere Näherungsradien kann man ein passendes Gegenbeispiel konstruieren.

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