Archimedesaxiom

11.04.2009, 17:34

schmouk

Archimedesaxiom

Hallo,

Zu jedem $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>0,b>0 \end{eqnarray*}$ ex. min. ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} na>b \end{eqnarray*}$ .

gilt das auch für:
Zu jedem $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq 0,b\geq 0 \end{eqnarray*}$ ex. min. ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} na\geq b \end{eqnarray*}$ .

ja oder?

Jetz ist die Frage: Existiert für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb{K}, \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} 1\geq \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , oder?

Dann kann ich das Archimedesaxion anwenden, nämlich da $\begin{eqnarray*} 1, \frac{1}{\varepsilon}\in \mathbb{K} \Rightarrow n\cdot 1\geq \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt noch die Kontraposition bemühen oder reicht wenn ich jetzt sage
$\begin{eqnarray*} n\geq \frac{1}{\varepsilon}\Leftrightarrow \varepsilon\geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Satz bewiesen?

11.04.2009, 18:25

Julian@mb

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RE: Archimedesaxiom

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} 1\geq \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb R \land \varepsilon = 0.5 \end{eqnarray*}$

11.04.2009, 20:07

schmouk

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12.04.2009, 12:53

schmouk

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Also ich definiere $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0, \varepsilon\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ damit ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ oder?

Somit ist auch klar, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{n|n=\frac{1}{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ existiert, oder?

Notation korrekt? Muss da noch was bewiesen werden?

12.04.2009, 13:04

Julian@mb

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Zitat:

Original von schmouk
Also ich definiere $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0, \varepsilon\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ damit ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ oder?

1/sqrt(2) liegt nicht in Q

12.04.2009, 13:16

schmouk

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Ach ja. Das macht aber nichts. Statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ halt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Also: ich habe definiert $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0, \varepsilon\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und also existiert $\begin{eqnarray*} \{n|n=\frac{1}{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

ja??

12.04.2009, 13:22

Julian@mb

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Ja.

12.04.2009, 13:27

schmouk

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Kann ich daraus jetzt schließen, dass $\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb{N}:n\geq\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ ?

12.04.2009, 21:28

Jacques

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Hallo,

Dass es die Menge gibt – die übrigens sehr komisch definiert ist – heißt doch noch lange nicht, dass sie auch Elemente hat. Wenn sie keine hat, dann ist der Schluss eben falsch.

Wobei ich, zumindest bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , den Aufwand nicht ganz verstehe:

Aus

$\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon} > 0 \end{eqnarray*}$

Natürlich gilt auch $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb{R}, 1 > 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt es ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} n \cdot 1 > \frac{1}{\varepsilon} \ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

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