5 Schüler auf 3 AGs verteilen

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Kombi Auf diesen Beitrag antworten »
5 Schüler auf 3 AGs verteilen
Hallo,

ich hab echte Schwierigkeiten mit Kombinatorik und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Die Frage ist, wieviele Möglichkeiten es gibt, 5 Schüler auf 3 AGs zu verteilen, wenn in einer AG mindestens 1 Schüler sein soll. Laut Lösung soll es insgesamt 25 Möglichkeiten geben. Aber wie kommt man darauf?

Ich hab mir überlegt, es gibt zwei Arten der Verteilung: eine im Verhältnis 3-1-1 und eine im Verhältnis 2-2-1.

Für 3-1-1 muss ich also eine Dreiergruppe bilden. Ich wähle also 3 aus 5 Schülern, und zwar ohne Reihenfolge (die Dreiergruppe ABC ist z. B. dieselbe wie ACB) und ohne Zurücklegen (ein Schüler kann nicht mehrmals in einer Gruppe sein). Das heißt, es gibt Möglichkeiten, eine Dreiergruppe aus 5 Schülern zusammenzusetzen.

Für jede dieser 10 Möglichkeiten gibt es aber doch 3! = 6 Möglichkeiten der Anordnung 3-1-1. Bei den Schülern A, B, C, D, E und der Dreiergruppe ABC etwa:
ABC, D, E
ABC, E, D
D, ABC, E
D, E, ABC
E, ABC, D
E, D, ABC

Das wären dann ja allein für die Verteilungsart 3-1-1 schon 10*6 = 60 Möglichkeiten???
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Mindestens ein Schüler bedeutet, einer, zwei oder drei verteilen sich auf die 5 AGs.

Das heißt:



LG
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, ob das so alles richtig ist? Da habe ich einige Zweifel ...

Zitat:
Die Frage ist, wieviele Möglichkeiten es gibt, 5 Schüler auf 3 AGs zu verteilen, wenn in einer AG mindestens 1 Schüler sein soll. Laut Lösung soll es insgesamt 25 Möglichkeiten geben. Aber wie kommt man darauf?


Das frage ich mich auch! Denn ich komme da auch nicht drauf! verwirrt

Verteilen wir doch erst mal 5 (nicht unterschiedene) Schüler auf drei AGs. Da stellt man sich vor, dass wir 5 mal aus den 3 AGs mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ziehen.

Nach der bekannten Formel ist die Anzahl dann (5 + 3 - 1) über 5 = 21

Von dieser Anzahl müssen wir aber noch alle Möglichkeiten abziehen, bei denen eine AG unbesetzt bleibt. Das lösen wir wie folgt: Wir besetzen jede AG mit genau einem Schüler. Die verbleibenden beiden Schüler verteilen wir auf die drei AGs. Dafür gibt es (3 + 2 - 1) über 2 = 6 Möglichkeiten.

Die möglichen Verteilungen sind:

3-1-1
2-1-2
2-2-1
1-1-3
1-2-2
1-3-1

Bei dieser Lösung wurde unterstellt, dass die Schüler nicht unterschieden werden. Wenn man das nicht macht, sondern nun noch die Schüler etwa in A, B, C, D, E unterscheidet, dann gibt es SEHR viele Möglichkeiten. Das hat der Fragesteller ganz richtig erkannt.

Schon die Verteilung 2-2-1 würde dann (5 über 2) * (3 über 2) * 1 = 30 verschiedene Möglichkeiten liefern. Insgesamt erhält man bei unterschiedenen Schülern gemäß der obigen Liste 20 + 30 + 30 + 20 + 30 + 20 = 150 Möglichkeiten.

Vielleicht habe ich ja etwas falsch verstanden - aber auf die Lösung 25 komme ich jedenfalls nicht!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem bei vielen dieser Aufgaben ist, dass sie nicht präzise formuliert sind und man dann höchstens vom Ergebnis, falls bekannt, raten kann, wie sie gemeint waren.

Hier kommt man auf das Ergebnis 25, wenn man annimmt, dass die Schüler unterscheidbar sind, nicht aber die AGs. Inhaltlich macht das dann Sinn, wenn die drei AGs dieselbe Aufgabenstellung haben.

Unter dieser Annahme gibt es zwei Aufteilungen:

3, 1, 1 und 2, 2, 1

Bei 3, 1, 1 sind aus den 5 Schülern 3 für die 3er AG auszuwählen. Das ergibt

Möglichkeiten.

Bei 2, 2, 1 sind erst 5 Schüler auf eine 2er AG zu verteilen und dann noch mal 3 Schüler auf die nächste 2er AG. Dann ist noch zu berücksichtigen, dass die beiden 2er AGs untereinander vertauschbar sind. Das ergibt weitere



Möglichkeiten.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
... wenn man annimmt, dass die Schüler unterscheidbar sind, nicht aber die AGs. Inhaltlich macht das dann Sinn, wenn die drei AGs dieselbe Aufgabenstellung haben.


Ja, das muss wohl die Aufgabenstellung sein, die zur Lösung passt! Da muss man erst mal drauf kommen, dass die AGs identischen Inhalt haben ... Big Laugh

Grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sowohl AGs als auch Schüler unterscheidbar sind (von letzterem sollte man eigentlich immer ausgehen!), dann kann man die Geschichte übrigens mit der allseits beliebten Siebformel ausrechnen, über die "Hilfsereignisse"

... in AG Nummer gehen gar keine Schüler .

Dann ist die gesuchte Anzahl

.


Den Zusammenhang zur Anzahl 25 bei Nichtunterscheidbarkeit der AGs kann man über die Permutationen der AGs herstellen, einfach .
 
 
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