Träger eingeschränkter Funktion kompakt?

12.04.2009, 17:04

Cordovan

Träger eingeschränkter Funktion kompakt?

Moin!

Ich habe gelesen, dass eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, wenn ich sie auf eine offene Teilmenge einschränke, keinen kompakten Träger mehr haben muss.

Irgendwie stehe ich aber auf dem Schlauch und finde kein Beispiel dafür - kann mir jemand einen Tipp geben?

Gruß
Cordovan

12.04.2009, 19:15

Mazze

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Offene Mengen sind niemals kompakt. Wenn Du also eine Funktion mit kompaktem Träger hast, und dort eine offene Teilmenge wählst, und die Funktion darauf einschränkst hat diese "neue" Funktionen keinen kompakten Träger. Daher kann es passieren das eine Funktion mit kompaktem Träger eingeschränkt auf eine offene Menge keinen kompakten Träger mehr hat.

12.04.2009, 20:00

Cordovan

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Zitat:

Offene Mengen sind niemals kompakt.

Ja das stimmt, aber der Träger einer Funktion ist doch so definiert:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(f):=\overline{\{x\in D:f(x)\neq0\}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt eine stetige Funktion habe, die zum Beispiel als Träger $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ hat. Dann hat doch die auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac12,\frac32\right) \end{eqnarray*}$ eingeschränkte Funktion einfach den Träger $\begin{eqnarray*} \left[\frac12,\frac32\right] \end{eqnarray*}$ , oder?

Cordovan

12.04.2009, 20:06

Mazze

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Zitat:

eingeschränkte Funktion einfach den Träger $\begin{eqnarray*} \left[\frac12,\frac32\right] \end{eqnarray*}$ , oder?

Nein, die Randpunkte gehören doch nichtmehr zum Definitionsbereich, deswegen schränken wir doch ein.

12.04.2009, 20:13

Cordovan

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Ist denn der Abschluss nicht im umgebenden Raum zu bilden? Also

$\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(f)=\overline{\left(\frac12,\frac32\right)}\stackrel{\text{Abschluss in $\mathbb R$}}{=}\left[\frac12,\frac32\right] \end{eqnarray*}$ ?

Cordovan

12.04.2009, 20:19

Mazze

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Zitat:

Ist denn der Abschluss nicht im umgebenden Raum zu bilden? Also $\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(f)=\overline{\left(\frac12,\frac32\right)}\stackrel{\text{Abschluss in $\mathbb R$}}{=}\left[\frac12,\frac32\right] \end{eqnarray*}$ ? Cordovan

Der Träger einer Funktion f sind alle Punkte des Definitionsbereichs an denen f nicht null ist. In deinem Beispiel wäre ganz einfach

$\begin{eqnarray*} supp(f) = \left(\frac{1}{2},\frac{3}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Man schliesst in $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2},\frac{3}{3}\right) \end{eqnarray*}$ ab, und das ändert nichts.

12.04.2009, 20:24

Cordovan

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Der Träger ist der Abschluss aller Punkte des Definitionsbereichs, an denen f nicht null ist.

Aber wenn der Abschluss einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\supset D\rightarrow X \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und nicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu nehmen ist, dann ist es mir klar.

Cordovan

12.04.2009, 20:28

Mazze

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Eine Voraussetzungen für die Definition des Trägers ist , dass der Definitionsbereich ein topologischer Raum ist. Der Abschluss ist bezüglich diesem Raum zu nehmen.

12.04.2009, 20:30

Cordovan

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Alles klar, danke sehr! Dann gibt es natürlich jede Menge Beispiele für die Aussage.

Cordovan

13.04.2009, 16:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
Offene Mengen sind niemals kompakt.

Das ist falsch. Jeder kompakte topologische Raum ist (als Teilmenge von sich selbst) offen und außerdem natürlich kompakt.

23.03.2012, 17:58

fj0n

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Hallo,

ich bin ganz neu hier und habe dazu eine Frage:

Zitat:
________________________________________________________________

Das ist falsch. Jeder kompakte topologische Raum ist (als Teilmenge von sich selbst) offen und außerdem natürlich kompakt.
________________________________________________________________

Bitte korrigiert mich, wenn ich mich irre und erklärt mir auch wieso.

Das bedeutet, wenn wir
[latex]
C_0^\infty ( ]0,\pi[ )
[\latex]
betrachten, dass dann das in IR offene Intervall [latex] (0,\pi) [\latex] für sich selbst genommen auch abgeschlossen ist und damit auch kompakt.

D.h zB
[latex]
\sin(x) \in C_0^\infty ( ]0,\pi[ )
[\latex]

Und der Träger dieses Sinuses ist dann auch kompakt, obwohl sein Definitionsbreich ganz [latex] (0,\pi) [\latex] ist.

?

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