Grenzwert über Riemannsche Zwischensumme

12.04.2009, 19:01

Max Simon

Grenzwert über Riemannsche Zwischensumme

Hallo

Diesmal brauch ich sicher etwas mehr Hilfe von euch, denn mit diesem Thema bin ich bisher total überfordert.

Also gesucht ist der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n*( \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}} + ... + \frac{1}{(2n-1)^{2}}) \end{eqnarray*}$ .

Ich soll dabei die Folge als Riemannsche Zwischensummenfolge interpretieren.

Dieser Grenzwert lässt sich ja folgendermaßen umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n*( \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}} + ... + \frac{1}{(2n-1)^{2}}) = \lim_{n \to \infty} n*\sum_{k=0}^{n-1}~ \frac{1}{(n+k)^{2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~ \frac{n}{(n+k-1)^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Wie ich mit einer Riemannsumme umzugehen habe, hab ich noch nie gezeigt bekommen und bin deshalb sehr ahnungslos.

Also in der Theorie hat eine solche Summe ja die Form:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ f(z_k)*(x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ .

Ich stell mir das bisher folgendermaßen vor:
Man hat eine beiliebige Funktion f in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Dieses Intervall wird nun in n gleichgroße Teilintervalle unterteilt: $\begin{eqnarray*} [a=x_0,x_1], [x_1,x_2], ... , [x_{n-1},x_n=b] \end{eqnarray*}$ .
Die Fläche unter dem Graphen wird nun durch Rechtecke angenähert. (Bei unendlich feiner Unterteilung hat die Summe den Wert des Integrals von f über [a,b].)
Die Breite eines dieser Intervalle, und damit eines der Rechtecke, ist $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ .
Die Höhe eines Rechtecks hängt von der Funktion f ab. Sie hat den Wert $\begin{eqnarray*} f(z_k) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ eine Stelle im Intervall $\begin{eqnarray*} (x_{k-1}, x_k) \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist bisher alles, was ich dazu weiß. Hier wird das also Integral nicht durch Ober- oder Unterintegrale angenähert, sondern eine variable Rechteckshöhe $\begin{eqnarray*} f(z_k) \end{eqnarray*}$ verwendet.

Doch wie soll mir das bei meiner Aufgabe helfen?
Ich muss anscheinend aus der vorgegebenen Folge die Funktion f bestimmen, um dann das Integral der Funktion zu berechnen. Dieser Wert stellt dann den gesuchten Grenzwert dar, oder?

Ich bin für jeden Hinweis dankbar. (Gerne weit ausholen bei den Erklärungen^^)

LG und Frohe Ostern. Max.

12.04.2009, 19:53

Chico_Tobi

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Also, da hast du Glück, ich hab die Aufgabe auch vor kurzem erst gemacht, somit kann ich dich da n bissl durchführen.

Du hast ja eh schon die Werkzeuge ausgebreitet, jetzt musst du sie nur benutzen.

Hier meine Denkanstöße:

1. Die Riemannsumme ist eine Summe aus Produkten, deren Faktoren jeweils Intervallbreite und Funktionswert sind. Dann versuch doch deine Summanden mal schlau aufzuspalten in einen Faktor, der die Intervallbreite bedeuten könnte, und einen Faktor, den du als Funktionswert interpretieren könntest.

2. Denk bei der Intervallbreite nicht an $\begin{eqnarray*} (x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ sondern lieber an das weiter unten erwähnte $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ .

3. Beim Funktionwert nimm am besten nicht ein beliebiges $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_{k-1} \end{eqnarray*}$

Viel Glück ;-)

12.04.2009, 19:55

tmo

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Edit: zu lange getrödelt..

12.04.2009, 20:40

Max Simon

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Danke für die guten Hinweise.

Also ich hab von meiner Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{n}{(n+k-1)^{2}} = \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{(n+k-1)^{2}}*n \end{eqnarray*}$

mal die letzten Summanden notiert:

$\begin{eqnarray*} k=n: \frac{n}{(2n-1)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k=(n-1): \frac{n}{(2n-2)^{2}} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, bleibt das n immer konstant, während sich der andere Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+k-1)^{2}} \end{eqnarray*}$ verändert.

Da die Intervalle ja alle gleich breit sind, ist n die Intervallbreite, während der andere Faktor dann die Höhe beschreiben muss, welche ja von einer Funktion f abhängt.

Hier nochmal ein Paar Faktoren der einzelnen Summanden:

$\begin{eqnarray*} k=n: \frac{1}{(2n-1)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k=(n-1): \frac{1}{(2n-2)^{2}} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} k=1: \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{(2n-n)^{2}} \end{eqnarray*}$

Hier erkennt man ja, dass ím Nenner auch ein Teil stets konstant ist.

Doch hier komm ich nicht weiter. Wie kann ich nun auf die Funkton f schließen?

@ tmo. Ein Ergebnis ist zwar ein guter Kontrollwert für mich, gerade in der Hinsicht, dass man sieht, woraus es hinaus läuft, aber ich will ja verstehen, wie man darauf kommt, um dann auch ohne Ergebnisvorgaben solche Aufgaben lösen zu können.

12.04.2009, 20:56

tmo

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Zitat:

Original von Max Simon
Da die Intervalle ja alle gleich breit sind, ist n die Intervallbreite, während der andere Faktor dann die Höhe beschreiben muss, welche ja von einer Funktion f abhängt.

Wie soll n denn die Intervallbreite sein?

Die Intervallbreite muss doch mit steigendem n gegen 0 konvergieren.

12.04.2009, 21:20

Max Simon

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ja, logisch. Hammer

Dann muss dieses n durch ein Polynom P(n) mindestens 2. Ordnung geteilt werden, damit die Breite gegen 0 geht. Dieses Polynom wird genau der konstante Teil im Nenner der Summanden sein.

Doch hier bleib ich wieder hängen.

Mir fehlt der Ansatz, wie ich die konstanten Teile von den veränderlichen trennen kann.

12.04.2009, 22:37

Leopold

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$\begin{eqnarray*} S_n = n \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \ldots + \frac{1}{(\left( n + (n-1) \right)^2} \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt schauen wir uns zum Beispiel den dritten Summanden der Klammer an:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+2)^2} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{\left( 1 + \frac{2}{n} \right)^2} \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise kann man $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ als Obersumme auffassen. Von welcher Funktion? Über welchem Intervall?

13.04.2009, 00:07

Max Simon

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Also, da ich ja aus dem 3. Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ ausklammern kann, kann ich das auch bei den anderen Summanden tun.
So ist zum Beispiel der letzte Summand gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}}*\frac{1}{(1+\frac{n-1}{n})^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} S_n = \frac{1}{n}*(\frac{1}{(1+\frac{0}{n})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^{2}}+ ... +\frac{1}{(1+\frac{n-1}{n})^{2}}) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man aber die Intervallbreite ablesen. Sie ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Somit hat das Intervall, über dem S_n eine Obersumme ist die Länge 1 (n Teilintervalle der Länge 1/n)?

Ich hab noch nicht verstanden, wieso S_n eine Obersumme ist. Auch über die Funktion kann ich hier nur schließen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(1+\frac{x}{n})^{2}} \end{eqnarray*}$ , allerdings ist ja x wieder irgendwie abhängig. Kannst du mir bitte die Zusammenhänge hier genauer erklären?

Ich finds toll, wie hier versucht wird, mich Stück für Stück der Lösung näher zu bringen. Danke!

13.04.2009, 00:59

Romaxx

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Hi,

die Stützstellen $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ sind gerade $\begin{eqnarray*} max\left(\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]\right)\quad,\quad k=0,1,2,\dots, n-1 \end{eqnarray*}$

Nun wird hoffentlich klar warum Obersumme und wieso $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

13.04.2009, 09:33

Leopold

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kleine Variante (Translation): $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^2} \, , \ I = [1,2] \, ; \ x_k = 1 + \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$

13.04.2009, 11:48

Max Simon

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Ich steh wohl etwas auf dem Schlauch.

Zitat:

Original von Romaxx
Die Stützstellen $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ sind gerade $\begin{eqnarray*} max\left(\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]\right)\quad,\quad k=0,1,2,\dots, n-1 \end{eqnarray*}$

Wieso sind genau das die Stützstellen? Legt man das einfach so fest?

Zitat:

Original von Romaxx
Nun wird hoffentlich klar warum Obersumme und wieso $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn diese $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ die Stützstellen sind, ist mir klar, wieso es sich dann um eine Obersumme handelt.
Aber wie sich aus dem ganzen f(x) ergibt seh ich immer noch nicht. verwirrt

13.04.2009, 11:57

Leopold

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$\begin{eqnarray*} S_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \end{eqnarray*}$

Schreib dir das doch einmal auf für $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$

Oder in meiner Variante: für $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k = 1 + \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$

Und dann solltest du dir ein Bildchen dazu zeichnen. Denn ein solches sagt manchmal mehr als tausend Worte.

13.04.2009, 23:35

Max Simon

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Gut. Wenn ich die Dinge so einsetze, erhalte ich in beiden Varianten $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .

Man muss also sowohl f(x) als auch die Stützstellen aus dieser Summe ablesen.
Dass es sich hierbei stets um den linken Rand eines Teilintervalls handelt, ist dann sicherlich Zufall, da die Funktionen f im 1. Quadranten (zufällig) monoton fallend sind.

Hätten allgemein die Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ auch woanders in einem solchen Teilintervall liegen können, oder sind es in der Regel immer Randpunkte der Teilintervalle?
Also die Beschreibung über das Maximum von Romaxx liefert ja eigentlich schon die Antwort, aber ich nehme mal an, dass in den Aufgaben die Stützstellen immer Randpunkte sein werden, da sonst die Lösungen zu kompliziert werden. Ich weiß, sehr optimistisch, aber kann man davon ausgehen?

Ich versuch jetzt noch die Aufgabe zuende zu bringen (mit beiden Varianten).

Variante 1:

$\begin{eqnarray*} f(x_k)=\frac{1}{(1+x_k)^{2}}; x_k=\frac{k}{n}; k=0,1,...,n-1 \end{eqnarray*}$

Um den gesuchten Grenzwert zu bestimmen, muss ich nun das Integral von f über einem Intervall bilden.
Um das Intervall zu bestimmen, betrachte ich die Stützstellen, welche in den Intervallen $\begin{eqnarray*} [\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}] \end{eqnarray*}$ liegen. Setze ich für den linken Rand das kleinste k und für den rechten das größte k ein, so erhalte ich folgendes "Gesamt-Intervall":

$\begin{eqnarray*} [\frac{0}{n},\frac{(n-1)+1}{n}] = [0,1] \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun also folgender Wert:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{1}{(1+x)^{2}}~dx = [-\frac{1}{1+x}]_{0}^1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Variante 2:

$\begin{eqnarray*} f(x_k)=\frac{1}{(x_k)^{2}}; x_k=1+\frac{k}{n}; k=0,1,...,n-1 \end{eqnarray*}$

Hier erhalte ich folgendes Intervall:

$\begin{eqnarray*} [1+\frac{0}{n},1+\frac{(n-1)+1}{n}] = [1,2] \end{eqnarray*}$

Also erhalte ich folgenden Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~\frac{1}{x^{2}}~dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die Grenzwerte sind identisch. geschockt

Also meine ich, die Aufgabe gelöst zu haben.

Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (n*(\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}} + ... + \frac{1}{(2n-1)^{2}}))_n \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Kann bitte nochmal jemand drüberschauen und sagen, ob das soweit in Ordnung ist. Dankeschön

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